Максимальное сжатие пружины формула

Определить величину максимального сжатия пружины (15 октября 2009)

mv 2 / 2 = Mu₁ 2 / 2 + mu₂ 2 / 2.

Находим из системы, что u₁ = 2v / 5.

mu₁ 2 / 2 = kx 2 / 2.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 16 октября, 2009 — 22:42 пользователем В. Грабцевич
1-й вывод неверный.

Вначале надо применить закон сохранения импульса.

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Физика. Определение максимального сжатия пружины.

Нам покоящихся на гладкой горизонтальной поверхности систему, состоящую из двух тел с одинаковой массой m=0,1 кг, соединённых пружиной жёсткостью k=500 н/м, налетает тело такой же массы со скоростью 3 м/с, направленной вдоль оси пружины. Удар абсолютно упругий. Определить максимальное сжатие пружины.

Лучший ответ

Кажется, что много писанины, но это только потому, что пытаюсь расписать подробнее, и решаю прямо сразу печатая, без черновика, так что отслеживайте ошибки (а лучше сама проделайте все).
1) Запишем полную энергию.
До столкновения:
E = m v^2 / 2
После столкновения:
E = m u^2 / 2 + m Vc^2 + m vc^2 + k x^2 / 2
Первое слагаемое — энергия налетевшего шарика после удара.
Второе слагаемое — энергия движения составного тела (2 шара + пружинка) как целого.
Третье слагаемое — энергия движения шариков на пружинке относительно их центра масс:
m vc^2 / 2 + m vc^2 / 2 = m vc^2. Скорости одинаковы по модулю, т. к. полный импульс системы в системе центра масс системы равен нулю.
Четвертое слагаемое — энергия упругой деформации.
ЗСЭ:
m v^2 / 2 = m u^2 / 2 + m Vc^2 + m vc^2 + k x^2 / 2
Левая часть равенства у нас фиксирована.
Первые два слагаемых правой части фиксируются в момент удара и далее не изменяются.
А вот последние два слагаемых могут изменяться в процессе движения (после удара). Но раз остальные слагаемое не меняются, то и сумма эти двух слагаемых постоянна:
Eвн = m vc^2 + k x^2 / 2
(внутренняя энергия)
Когда x = 0, |vc| = max(|vc|),
когда |x| = max(|x|), vc = 0.
2) Запишем полный импульс (проекцию на ось, вдоль которой происходит движение).
До столкновения:
P = m v
После столкновения:
P = m u + 2 m Vc
ЗСИ:
m v = m u + 2 m Vc
3) Налетающее тело, как я понял, мгновенно приводит в движение одно из тел, скрепленных пружиной. Второе из тел после удара сначала покоится, и деформации нет. Тогда:
m Vc = m vc / 2 (в начальный момент времени).
x = 0, значит |vc| = max(|vc|).
То есть мы нашли:
max(|vc|) = 2 |Vc|
А тогда:
Eвн = m vc^2 + k x^2 / 2 = m (max|vc|)^2 = 4 m Vc^2
От сюда можно выразить искомую величину:
Eвн = 0 + k max|x|^2 / 2 = 4 m Vc^2
max|x| = 2 |Vc| sqrt(2 m / k)
Получили выражение для искомой величины, надо теперь найти Vc.
4) Запишем систему уравнений ЗСЭ и ЗСИ:
m v^2 / 2 = m u^2 / 2 + 5 m Vc^2
m v = m u + 2 m Vc
Сокращаем все на m:
v^2 / 2 = u^2 / 2 + 5 Vc^2
v = u + 2 Vc
Исключаем неизвестную u, получаем уравнение для Vc > 0:
v^2 = [v — 2 Vc]^2 + 10 Vc^2
От куда:
Vc = (2 / 7) v
Тогда искомая величина:
max|x| = 2 |Vc| sqrt(2 m / k) = max|x| = (4 / 7) v sqrt(2 m / k)
Если подставить чиселки, получается:
max|x| = 0.03429 (м)
После округления совпадает с тем, что у вас в ответе.

Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад
Попытался проанализировать ваше решение, но столько текста, что запутался.

Amaxar 777 Высший разум (127484) Вот я щас взял бумажку, и пытаюсь понять, почему у нас разный ответ)

Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад

Я воспользовался тем, что «двигавшееся тело остановится, а покоящееся поедет с той же скоростью». И что в момент максимального сжатия тела, соединённые пружиной, движутся с одинаковыми скоростями.

Amaxar 777 Высший разум (127484) Это я понял. Но я попытался избежать подобных допущений. А вот движения обоих скрепленных тел с одинаковой скоростью в момент максимального сжатия вообще не очевидно. Надо еще к этому прийти.

Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад

Если у них не будут одинаковые скорости, то тела будут двигаться относительно друг друга, значит, длина пружины будет возрастать или убывать. Так что это не допущения.

Amaxar 777 Высший разум (127484) А, ну да, это верно. Посмотрел, что следует из моих вычислений. Оказывается, у меня тут налетающее тело после удара будет двигаться со скоростью 3/7 от начальной. Интересно, что и где не так)

Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад
Оно не будет двигаться никак. ))

Amaxar 777 Высший разум (127484) Если рассмотреть просто как соударение двух тел одинаковой массы — то да. У вас вроде бы все верно. Но я не могу понять, что не так у меня)

Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад
«Но я не могу понять, что не так у меня)». Я тоже. Вязну.

Amaxar 777 Высший разум (127484) Я бы расписал подробнее, но это будет еще более вязко) Я просто пытался пользоваться как можно более общими штуками. Не использовать. например, одинаковость масс. А вместо этого пытался применить в лоб законы сохранения и переход в систему центра масс.

Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад
Я люблю сначала на черновике решить, потом сюда. А то печатая как-то теряешься.
Amaxar 777 Высший разум (127484) да, но я что-то уже привык сразу печатать)
Остальные ответы

V1 — скорость тела, соединенного пружиной, испытавшего удар, сразу после удара.
Из закона сохранения импульса СРАЗУ после КОРОТКОГО столкновения
m*Vo = m*V1
Т. е. двигавшееся тело остановится, а покоящееся поедет с той же скоростью.
V2 — скорость тел, соединенных пружиной в момент её максимального сжатия.
x — максимальное сжатие пружины.
m*V1 = 2*m*V2
Из закона сохранения энергии:
m*V1^2/2 = 2*m*V2^2/2 + k*x^2/2
Физика закончена, займёмся математикой.
m*V1^2 = m*V1^2/2 + k*x^2
k*x^2 = m*V1^2/2
x = Sqrt(m*V1^2/2*k) = Sqrt(0,1*9/2*500) = 0,03

Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад
И без округлений.
было б лучше написать /k
Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад
Дык. вроде написано.
x = Sqrt(m*V1^2/2*k)

Рустам Искендеров Искусственный Интеллект (138577) Куклин Андрей, То же, разумеется, и в Sqrt(0,1*9/(2*500)) или Sqrt(0,1*9/2/500)

Рустам ИскендеровИскусственный Интеллект (138577) 3 года назад

После долгих мытарств я тоже пришёл к тому же выводу, что и вы (удар короткий и на столкновение реагирует лишь 1-й элемент). Решил точно так же. Но вы, к радости моей (хотя бы за избавление меня от печатания), опередили меня.
В последнем ур-ии надо было записать
x = Sqrt(m*V1^2/(2*k)), или так, как указал Баркот.

Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад
Тогда уж
x = Sqrt((m*V1^2)/(2*k)) 🙂
Куклин АндрейВысший разум (214379) 3 года назад
Больше уточнений нету?
Шланг ДлинныйУченик (107) 3 года назад
Всё, дошло. Через выражение V2 из ЗСИ.

У нас получаются два пружинных маятника, колеблющихся относительно центра масс системы, двигающегося после столкновения со скоростью v1=mv/(2m)=v/2, где v — скорость налетевшего тела. Перейдем в систему отсчета центра масс. В момент удара одно из тел системы получило скорость v относительно поверхности, другое осталось на месте, а в СО центра масс оба стали двигаться к ц. м. со скоростью v/2. Каждое из тел сжимает свою половинку пружины на величину х/2, при этом жесткость этой половины составляет 2k.
Из ЗСЭ:
2k*(x/2)^2/2=m*(v/2)^2/2
x=sqrt[m*v^2/(2k)]=sqrt[0,1*3^2/(2*500)]=0,03

Калькулятор расчета пружин сжатия

Нестандартные пружины рассчитываются индивидуально — Оставить заявку.
Расчет грузовых характеристик, направляется в НИО — Написать письмо.

• Пружина: 2x30x50x8
• Стандарт на материал: En 10270-1 — SM
• Покрытие: Без покрытия
• Количество/шт: 1000 шт.
• Вес металла 17 кг
• ЗаказатьСкачать

Рассчитанные параметры пружины Ньютон / Кг

Вид формирования опорного витка

Для нормальной работы пружины C1 ≤ 3,
при C1 = от 3 до 5 – потребуется шток для обжатия и проверки ГХ;
при C1 > 5 – потребуется шток и стакан для обжатия и проверки ГХ;

Чертеж пружины

Fкр 0 H F3

l0 50 ±1,50 l2 30 lкр 0 l3 15 d 2 D1 30 ±0,60 t 7,8 En 10270-1 — SM 425 Правое 706 0,017 1,24 14,00 2 6 8 ±0,5 2x30x50x8 2x30x50x8

Данные в эскизе несут исключительно информационный характер

Запрос консультации

Возможности калькулятора

Наш калькулятор позволяет сделать расчет следующих параметров пружины:

• Индекс пружины
• Жесткость пружины
• Длина заготовки
• Рабочая нагрузка
• Максимальная нагрузка
• Шаг пружины
• Масса заготовки
• Коэффициент кривизны витка пружины
• Максимальное касательное напряжение

• Расчётная величина прогиба
• Максимальный прогиб
• Общий допуск на диаметр
• Общий допуск на высоту
• Общий допуск на витки
• Плотно сжатое состояние
• Жесткость одного витка
• Прогиб одного витка

Расчет пружин сжатия онлайн — позволяет определить силовые и геометрические характеристики. Расчёт основывается на сложных формулах. Калькулятор позволяет посчитать вес одной пружины, длину прутка и отправить заявку. При проектировании изделий высокой точности и для ответственных конструкций — важно проверить чертеж технологами. Расчёт на калькуляторе несет исключительно информационный характер.

Расшифровка обозначений на чертеже

• D средний диаметр, мм
• Dнар наружный диаметр, мм
• Dвн внутренний диаметр, мм
• l0 длина пружины в свободном состоянии, мм
• L1 длина при предварительном сжатии (при установке в механизм), мм
• L2 длина при рабочем сжатии, мм
• L3 длина при полном сжатии (при соприкосновении витков), мм
• lдоп длина при максимально допустимом сжатии, мм
• S1 ход пружины при предварительном сжатии (при установке в механизм), мм
• S2 ход пружины при рабочем сжатии, мм
• Sдоп максимально допустимый ход сжатия, мм
• F1 усилие пружины при предварительном сжатии S1/l1, Н
• F2 усилие пружины при рабочей деформации, Н
• F3 усилие пружины при полной деформации, Н
• Fдоп максимально допустимое усилие пружины при ходе сжатия Sдоп/lдоп, Н
• Dc диаметр направляющего стержня, мм
• Dг диаметр направляющей гильзы, мм
• С жесткость пружины
• n рабочее число витков n
• n1 полное число витков n1
• i индекс
• m масса пружины
• L длина развернутой пружины
• C1 Коэффициент продольной устойчивости

Что такое жесткость пружины и как ее рассчитать

Для определения устойчивости и сопротивления к внешним нагрузкам используется такой параметр, как жесткость пружины. Также он называется коэффициентом Гука или упругости. По сути, характеристика жесткости пружины определяет степень ее надежности и зависит от используемого материала при производстве.

Измерению коэффициента жесткости подлежат следующие типы пружин:

• Сжатия;
• Растяжения;
• Изгиба;
• Кручения.

Изготовление пружин любого типа вы можете заказать здесь.

Какую жесткость имеет пружина

При выборе готовых пружин, например для подвески автомобиля, определить, какую жесткость она имеет, можно по коду продукта либо по маркировке, которая наносится краской. В остальных случаях расчет жесткости производится исключительно экспериментальными методами.

Жесткость пружины по отношению к деформации бывает величиной переменной или постоянной. Изделия, жесткость которых при деформации остается неизменной называются линейными. А те, у которых есть зависимость коэффициента жесткости от изменения положения витков, получили название «прогрессивные».

В автомобилестроении в отношении подвески существует следующая классификация жесткости пружин:

• Возрастающая (прогрессирующая). Характерна для более жесткого хода автомобиля.
• Уменьшающаяся (регрессирующая) жесткость. Напротив, обеспечивает, «мягкость» подвески.

Определение величины жесткости зависит от следующих исходных данных:

• Тип сырья, используемый при изготовлении;
• Диаметр витков металлической проволоки (Dw);
• Диаметр пружины (в расчет берется средняя величина) (Dm);
• Число витков пружины (Na).

Как рассчитать жесткость пружины

Для расчета коэффициента жесткости применяется формула:

k = G * (Dw)^4 / 8 * Na * (Dm)^3,

где G – модуль сдвига. Данную величину можно не рассчитывать, так как она приведена в таблицах к различным материалам. Например, для обыкновенной стали она равна 80 ГПа, для пружинной – 78,5 ГПа. Из формулы понятно, что наибольшее влияние на коэффициент жесткости пружины оказывают оставшиеся три величины: диаметр и число витков, а также диаметр самой пружины. Для достижения необходимых показателей жесткости изменению подлежат именно эти характеристики.

Вычислить коэффициент жесткости экспериментальным путем можно при помощи простейших инструментов: самой пружины, линейки и груза, который будет воздействовать на опытный образец.

Определение коэффициента жесткости растяжения

Для определения коэффициента жесткости растяжения производятся следующие расчеты.

• Измеряется длина пружины в вертикальном подвесе с одной свободной стороной изделия – L1;
• Измеряется длина пружины с подвешенным грузом – L2.Если взять груз массой 100гр., то он будет воздействовать силой в 1Н (Ньютон) – величина F;
• Вычисляется разница между последним и первым показателем длины – L;
• Рассчитывается коэффициент упругости по формуле: k = F/L.

Определение коэффициента жесткости сжатия производится по этой же формуле. Только вместо подвешивания груз устанавливается на верхнюю часть вертикально установленной пружины.

Подводя итог, делаем вывод, что показатель жесткости пружины является одной из существенных характеристик изделия, которая указывает на качество исходного материала и определяет долговечность использования конечного изделия.