Полная мощность цепи переменного тока
Понятие потенциала или разности потенциалов u позволяет определить работу, совершаемую электрическим полем при перемещении элементарного электрического заряда dq , как dA = udq . В то же время, электрический ток равен i = dq / dt . Отсюда dA = ui dt , следовательно, скорость совершения работы, т.е. мощность в данный момент времени или мгновенная мощность равна
где u и i — мгновенные значения напряжения и тока.
Величины тока и напряжения, входящие в выражение (1), являются синусоидальными функциями времени, поэтому и мгновенная мощность является переменной величиной и для ее оценки используется понятие средней мощности за период. Ее можно получить, интегрируя за период T работу, совершаемую электрическим полем, а затем соотнося ее с величиной периода, т.е.
Пусть u = U m sin w t и I m sin( w t — j ), тогда средняя мощность будет равна
т.к. интеграл второго слагаемого равен нулю. Величина cos j называется коэффициентом мощности .
Из этого выражения следует, что средняя мощность в цепи переменного тока зависит не только от действующих значений тока I и напряжения U , но и от разности фаз j между ними. Максимальная мощность соответствует нулевому сдвигу фаз и равна произведению UI . При сдвиге фаз между током и напряжением в ± 90 ° средняя мощность равна нулю. Максимальные значения напряжения и тока любой электрической машины определяются ее конструкцией, а максимальная мощность, которую они могут развивать — произведением этих величин. Если электрическая цепь построена нерационально, т.е. сдвиг фаз j имеет значительную величину, то источник электрической энергии и нагрузка не могут работать на полную мощность. Поэтому в любой системе источник-нагрузка существует т.н. » проблема cos j «, которая заключается в требовании возможного приближения cos j к единице.
Выражение (3) можно представить также с помощью понятий активных составляющих тока I а и напряжения U а в виде
P = UI cos j = U ( I cos j ) = UI а = I ( U cos j ) = IU а .
Учитывая, что активные составляющие тока и напряжения можно выразить через резистивную состаляющую комплексного сопротивления цепи как I а = U / R или U а = IR , выражение (4) можно записать также в форме
P = I 2 R = U 2 /R .
Среднюю мощность P называют также активной мощностью и измеряют в ваттах [Вт].
Выделим подинтегральную функцию выражения (3)
Отсюда следует, что мгновенная мощность изменяется с двойной частотой сети относительно постоянной составляющей UI cos j равной средней или активной мощности.
При cos j = 1 ( j = 0) , т.е. для цепи, обладающей чисто резистивным сопротивлением
Временные диаграммы, соответствующие этому случаю приведены на рис. 1 а).
Положительные значения мгновенной мощности соответствуют поступлению энергии от источника в электрическую цепь . Следовательно, при резистивной нагрузке вся энергия поступающая от источника преобразуется в ней в тепло .
При cos j = 0 ( j = ± p /2) , т.е. для чисто реактивной цепи
Временные диаграммы, соответствующие чисто индуктивной и чисто емкостной нагрузке приведены на рис. 1 б) и г). Из выражений (8) и временных диаграмм следует, что мощность колеблется относительно оси абсцисс с двойной частотой, изменяя свой знак каждые четверть периода. Это означает, что в течение четверти периода ( p > 0) энергия поступает в электрическую цепь от источника и запасается в магнитном или электрическом поле, а в течение следующей четверти ( p < 0) она целиком возвращается из цепи в источник. Так как площади, ограниченные участками с положительной мощностью и с отрицательной одинаковы, то средняя мощность отдаваемая источником нагрузке равна нулю и в цепи не происходит преобразования энергии.
В общем случае произвольной нагрузки 1 > cos j > 0 ( 1< | j | < p /2) и
Как следует из временных диаграмм рис. 1 в), большую часть периода мощность потребляется нагрузкой ( p > 0), но существуют также интервалы времени, когда энергия запасенная в магнитных и электрических полях нагрузки возвращается в источник. Участки с положительным значением p независимо от характера реактивной составляющей нагрузки всегда больше участков с отрицательным значением, поэтому средняя мощность P положительна. Это означает, что в электрической цепи преобладает процесс преобразования электрической энергии в тепло или механическую работу .
Рассмотрим энергетические процессы в последовательном соединении rLC (рис. 2). Падение напряжения на входе цепи уравновешивается суммой падений напряжения на элементах u = u r + u L + u C . Мгновенная мощность в цепи равна
ui = u r i + u L i + u C i
Пусть напряжение и ток на входе равны u = U m sin w t и I m sin( w t — j ). Тогда падения напряжения на элементах будут u r = rI m sin( w t — j ), u L = w LI m sin( w t — j + p /2) = x L I m sin( w t — j + p /2), u C = I m sin( w t — j — p /2)/( w C) = x C I m sin( w t — j — p /2). Подставляя эти выражения в (9), получим
Уравнение (10) в левой и правой частях имеет постоянную и переменную составляющие. Постоянная составляющая представляет собой активную или среднюю мощность. Второе слагаемое в правой части это переменная составляющая активной мощности с амплитудой равной P = UI cos j . Третье слагаемое правой части также является переменной составляющей мгновенной мощности, но эта составляющая находится в квадратуре с переменной составляющей активной мощности и имеет амплитуду Q = UI sin j . Эту величину называют реактивной мощностью . Она равна среднему за четверть периода значению энергии, которой источник обменивается с магнитным и электрическим полями нагрузки. Реактивная мощность не преобразуется в тепло или другие виды энергии , т.к. ее среднее значение за период равно нулю.
Реактивную мощность также можно представить через реактивные составляющие тока или напряжения
Q = UI sin j = U ( I sin j ) = UI р = I ( U sin j ) = IU р .
В отличие от всегда положительной активной мощности, реактивная мощность положительна при j > 0 и отрицательна при j < 0 .
Из условия равенства переменных составляющих левой и правой частей уравнения (10) можно найти связь между P , Q и S = UI в виде
Величина S называется полной или кажущейся мощностью . Из выражения (12) следует, что полную мощность можно представить гипотенузой прямоугольного треугольника с углом j , катетами которого являются активная и реактивная мощности.
Таким образом, полная мощность это максимально возможная активная мощность, т.е. мощность, выделяющаяся в чисто резистивной нагрузке (cos j = 0). Именно эта мощность указывается в паспортных данных электрических машин и аппаратов.
Реактивные составляющие токов и напряжений можно представить через активные и реактивные составляющие комплексного сопротивления, тогда для составляющих мощности
P = UI а = I 2 R = U а I = U 2 / R = U 2 G ;
Q = UI р = I 2 X = U р I = U 2 / X = U 2 B ;
S = UI = I 2 Z = U 2 / Z = U 2 Y.
Треугольник мощностей можно описать также с помощью комплексных чисел и изобразить векторами на комплексной плоскости в виде
где S — комплексная полная мощность, — сопряженный комплексный ток.
Пользуясь представлением активной и реактивной составляющих мощности через активные и реактивные составляющие токов и напряжений (выражения (4) и (11)), треугольник мощностей можно построить в двух вариантах (рис. 3 а) и б)). В первом случае активная и реактивная составляющие полной мощности выражаются через активную и реактивную составляющие напряжения U и треугольник мощностей получается изменением масштаба треугольника напряжений (рис. 3 а)). Во втором случае (рис. 3 б)), построение выполнено с помощью активной и реактивной составляющих тока I .
Очевидно, что все виды мощности имеют одинаковую размерность, поэтому для их отличия от активной мощности, измеряемой в ваттах [Вт], для полной мощности введена единица, называемая вольт-амперы [ВА], а для реактивной мощности — вольт-амперы реактивные [ВАр]
Выражение для активной мощности P = UI cos j позволяет определить коэффициент мощности с помощью ваттметра, вольтметра и амперметра.
Для этого на вход цепи включают приборы по схеме рис. 4 и по их показаниям определяют коэффициент мощности в виде
где W, V и A — показания соответственно ваттметра, вольтметра и амперметра действующих значений . Из этого выражения можно также определить угол сдвига фаз j между током и напряжением на входе двухполюсника.
Как найти мощность в цепи переменного тока
Мощность в цепи переменного тока — это совсем не то же самое, что мощность в цепи тока постоянного. Всем известно, что постоянный ток способен нагревать активную нагрузку R. А если постоянным током начать питать цепь содержащую конденсатор C, то стоит только ему зарядиться, как этот конденсатор больше тока через цепь не пропустит.
Катушка L в цепи постоянного тока вообще может проявить себя подобно магниту, особенно если в ней присутствует ферромагнитный сердечник. При этом провод катушки, обладая активным сопротивлением, никак не будет отличаться от резистора R, включенного последовательно с катушкой (и имеющего такой же номинал, что и омическое сопротивление провода катушки).
Так или иначе, в цепи постоянного тока, где нагрузка состоит лишь из пассивных элементов, переходные процессы заканчиваются практически сразу после начала ее питания, и больше себя не проявляют.
Переменный ток и реактивные элементы
Что же касается цепи тока переменного, то в ней переходные процессы имеют важнейшее, если не сказать решающее, значение, и каждый элемент такой цепи, способный не только рассеивать энергию в форме тепла или механической работы, но могущий хотя бы как-то накапливать энергию в форме электрического или магнитного полей, будет влиять на ток, оказывая некую нелинейную реакцию, зависящую не только от амплитуды прикладываемого напряжения, но и от частоты пропускаемого тока.
Таким образом, при переменном токе мощность не только рассеивается в форме тепла на активных элементах, но часть энергии попеременно то накапливается, то возвращается обратно к источнику питания. Это значит, что емкостные и индуктивные элементы сопротивляются прохождению переменного тока.
В цепи синусоидального переменного тока конденсатор сначала за пол периода заряжается, а в следующие пол периода — разряжается, отдавая заряд обратно в сеть, и так каждые пол периода сетевой синусоиды. Катушка индуктивности в цепи переменного тока в первую четверть периода создает магнитное поле, а в следующие четверть периода это магнитное поле уменьшается, энергия в форме тока возвращается обратно к источнику. Так ведут себя чисто емкостная и чисто индуктивная нагрузки.
В чисто емкостной нагрузке ток опережает напряжение на четверть периода сетевой синусоиды, то есть на 90 градусов, если смотреть тригонометрически (когда напряжение на конденсаторе достигло максимума, ток через него равен нулю, а когда напряжение начнет переходить через ноль, то ток в цепи нагрузки будет максимальным).
В чисто индуктивной нагрузке ток отстает от напряжения на 90 градусов, то есть на четверть периода синусоиды задерживается (когда напряжение приложенное к индуктивности максимально, ток только начинает нарастать). У чисто активной нагрузки ток и напряжение друг от друга в каждый момент времени не отстают, то есть находятся строго в фазе.
Полная, реактивная и активная мощности, коэффициент мощности
Получается, что если нагрузка в цепи переменного тока не идеально активная, то в ней обязательно присутствуют реактивные компоненты: обладающие индуктивной составляющей обмотки трансформаторов и электрических машин, обладающие емкостной составляющей конденсаторы и другие емкостные элементы, даже просто индуктивности проводов и т. п.
В результате в цепи переменного тока напряжение и ток находятся не в фазе (не в одной и той же фазе, это значит, что их максимумы и минимумы не совпадают максимум — с максимумом, а минимум — с минимумом точь-в-точь), и всегда есть некоторое отставание тока от напряжения на определенный угол, который принято называть фи. А величину косинуса фи называют коэффициентом мощности, потому что косинус фи — это фактически отношение активной мощности R, безвозвратно расходуемой в цепи нагрузки, к полной мощности S, которая обязательно проходит через нагрузку.
Полную мощность S источник переменного напряжения подает в цепь нагрузки, часть этой полной мощности возвращается каждые четверть периода обратно к источнику (эта возвращаемая и кочующая туда-сюда часть называется реактивной составляющей Q), а часть расходуется в виде активной мощности P — в форме тепла или механической работы.
Чтобы нагрузка, содержащая реактивные элементы, могла бы работать по своему назначению, к ней необходимо подавать от источника электрическую мощность в размере именно полной мощности.
Как вычислить полную мощность в цепи переменного тока
Чтобы измерить полную мощность S нагрузки в цепи переменного тока, достаточно перемножить ток I и напряжение U, точнее их средние (действующие) значения, которые несложно измерить вольтметром и амперметром переменного тока (эти приборы показывают именно среднее, действующее значение, которое для двухпроводной однофазной сети меньше амплитуды в 1,414 раза). Таким образом вы узнаете, какая мощность подается от источника к приемнику. Средние значения берутся потому, что в обычной сети ток синусоидальный, а получить нам необходимо точное значение энергии, потребляемой каждую секунду.
Как вычислить активную мощность в цепи переменного тока
Если нагрузка имеет чисто активный характер, к примеру это нагревательная спираль из нихрома или лампа накаливания, то можно просто перемножить показания амперметра и вольтметра, это и будет активная потребляемая мощность P. Но если нагрузка имеет активно-реактивный характер, то для расчета потребуется знать косинус фи, то есть коэффициент мощности.
Специальный электроизмерительный прибор — фазометр, позволит измерить косинус фи напрямую, то есть получить численное значение коэффициента мощности. Зная косинус фи, останется умножить его на полную мощность S, способ вычисления которой описан в предыдущем абзаце. Это и будет активная мощность, активный компонент потребляемой от сети мощности.
Как вычислить реактивную мощность
Для нахождения реактивной мощности, достаточно воспользоваться следствием из теоремы Пифагора, задавшись треугольником мощностей или просто умножив полную мощность на синус фи.
Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
Исследуем и рассчитываем мощность в цепи переменного тока
В процессе эксплуатации электрооборудования важную роль играет соответствие требуемой мощности и возможностей сети электропитания. Чтобы выполнить предварительные расчёты, необходимо понимать, какова природа электрической мощности и чем определяется её величина.
Виды тока
Техника может работать с использованием постоянного или переменного электрического тока. В первом случае сила тока на протяжении эксплуатации не меняется. Во втором она периодически меняется по абсолютной величине и знаку.
Наиболее часто переменный ток изменяется по синусоидальному закону, однако в некоторых случаях импульсы могут иметь другую, например, прямоугольную форму. В бытовых и производственных условиях часто для питания электроприборов требуется наличие однофазного или трехфазного переменного тока.
На представленном выше графике сила тока для активной мощности обозначена красным цветом. Для реактивной использованы обозначения с индексами L и C. На этом графике показан сдвиг фаз. Здесь видно, что ёмкостный ток отстаёт, а индуктивный опережает активный. При проведении расчетов для выбора автотрансформатора или других электроприборов важно правильно учитывать имеющиеся смещения.
Зачем нужно знать мощность электрооборудования
Каждый подключенный электроприбор для обеспечения своей работы будет потреблять часть мощности электросети. Если их работает одновременно несколько, то мощности складываются. Важно при расчете потребляемой электроэнергии учитывать:
- Мощность в цепи переменного тока или постоянного, которая обеспечивается поставщиком.
- Параметры защитных приборов, с помощью которых осуществляется регулирование рабочих характеристик оборудования.
- Конструкцию системы проводов и удлинителей.
- Наличие автотрансформатора или аналогичных устройств.
Если подаваемая мощность недостаточна, это способствует появлению перебоев в поставке электроэнергии. Защитные приборы должны быть настроены таким образом, чтобы при возникновении аварийной ситуации прерывать поступление электричества. Для этого в них должны быть заложены данные о том, какая величина мощности в цепях переменного или постоянного тока считается нормальной, а какая свидетельствует о возникновении проблемной ситуации.
Провода, удлинители и другие элементы электропроводки рассчитаны на определённые предельные значения. При их превышении они будут плавиться или перегорать. Перед подключением автотрансформатора или других электроприборов нужно предварительно узнать, соответствует ли требуемая им мощность имеющимся возможностям электросети.
Виды мощности
Полная мощность на участке цепи определяется как работа, выполняемая в течение единицы времени. Её также можно рассматривать как отношение используемой энергии к продолжительности интервала времени, на протяжении которого это происходит.
При работе электрического прибора часть мощность частично тратится на получение полезного эффекта. Такую мощность называют активной. Электрическая энергия при этом превращается в другой вид. Например, речь может идти о том, что она выделится в виде света или тепла.
Переменный ток при наличии в схеме ёмкости и индуктивности создаёт реактивную мощность. Она не расходуется, а преобразуется из одной формы в другую. Реактивная мощность, выделяемая в конкретной цепи переменного тока, считается паразитной. Если ее величина незначительная, то вся используемая энергия является активной.
Реактивная и активная мощности — это составляющие полной электрической мощности. Сложение осуществляется по векторным правилам. Чтобы рассчитать полную мощность, следует применить теорему Пифагора.
На приведённом рисунке длина гипотенузы выражает полную мощность, горизонтально расположенный катет — активную составляющую, а вертикально — реактивную. Как известно, квадрат гипотенузы — это сумма квадратов катетов.
В приведённой формуле используются следующие обозначения:
- С левой стороны знака равенства указана полная мощность.
- В качестве P рассматривается активная мощность.
- С помощью Q обозначена реактивная мощность.
Соотношение активной и реактивной мощности выражается через косинус угла «фи». Этот угол представляет собой фазовый сдвиг между электротоком и электронапряжением. Чтобы оценить реальную мощность работы оборудования, косинус «фи» часто указывают в технической документации электроприбора, как коэффициент мощности. Он полезен для определения особенностей использования автотрансформатора или других приборов.
Единицей измерения активной мощности является ватт. Для реактивной применяется вольт-ампер реактивный (вар). Полная мощность измеряется вольт-амперами.
Используется еще и такое понятие, как мгновенная мощность, которая постоянно меняется. Например, она может иметь нулевое значение в тех точках, где сила электротока также равняется нулю. На практике мгновенная мощность используется редко, но применяется её среднее значение за период.
Как измерить косинус «фи»
Обычно эта информация содержится в технической документации прибора. Если она не указана, то ее измеряют с помощью специального прибора — фазометра.
Чем больше рассматриваемая величина, тем выше будет эффективность электрооборудования. Если косинус небольшой, то выгодно улучшить ситуацию, используя компенсацию реактивной мощности переменного тока. Чтобы понять принцип работы, следует вспомнить, что реактивная мощность возникает из-за наличия ёмкости и индуктивности в электроцепи.
Для компенсации используют регулируемый узел, действующий противоположно реактивной составляющей электромощности. Например, регулировка может осуществляться при помощи дросселя с высокой индуктивностью. Его подключают последовательно с нагрузкой.
Как узнать мощность
Один из наиболее простых способов — измерение мощности с помощью ваттметра. Существуют различные виды таких устройств. Поскольку в быту не требуется особенно высокой точности, можно использовать довольно простые приборы.
Также можно провести вычисления, измерив напряжение, силу тока и сопротивление. Расчёт мощности осуществляется с помощью двух из этих трёх величин.
При использовании постоянного тока определение активной мощности выполняется с помощью следующего выражения:
Если нужно определить мощность однофазного переменного тока, используется формула:
Если ток трёхфазный, тогда мощность можно рассчитать по формуле:
Указанная выше формула мощности применяется при симметричном трёхфазном распределении. Если оно является асимметричным, тогда для каждой фазы мощность переменного тока вычисляется отдельно, а затем найденные значения складываются. Средняя мощность для переменного тока определяется интегральным исчислением.
Для определения реактивной мощности используют формулу:
Знание электрической мощности не только полезно само по себе, но оно помогает вычислить различные характеристики используемого электрооборудования. Обычно значение мощности и косинуса «фи» можно получить из технической документации. Например, зная напряжение, можно вычислить силу электрического тока, чтобы учесть её при подключении и обеспечении безопасности использования оборудования.
На представленной выше схеме во внутреннем круге указаны величины, которые требуется определить. Вдоль окружности приведены формулы, которыми следует воспользоваться для вычисления.
Сказанное можно пояснить на следующем примере. Допустим, нужно определиться с мощностью. В этом случае следует обратить внимание на левый нижний сектор чертежа. Зная две из трёх величин, через которые выражается мощность (напряжение, силу тока и сопротивление), можно подобрать подходящую формулу для вычисления.
Если требуется найти, чему равна сила тока, то это выполняется аналогичным образом. Разница состоит в том, что теперь следует работать с правым верхним сектором. Здесь потребуется знать две из следующих трёх величин: мощность, сопротивление и напряжение. Нужно подобрать подходящую формулу и выполнить соответствующие вычисления.
Полная мощность цепи переменного тока
7.7. РЕАКТИВНАЯ И ПОЛНАЯ МОЩНОСТЬ
Для более полного описания энергетических процессов в цепях синусоидального тока, предназначенных для передачи энергии, вводятся понятия реактивной Q и полной S мощностей:
Q = UI sinφ = I 2 Х = U 2 B; S = UI = I 2 z = U 2 y.
Реактивная мощность Q измеряется в вольт-амперах реактивных (вар), полная мощность S — в вольт-амперах (В·А).
Активная, реактивная и полная мощности связаны друг с другом соотношениями:
P = S cosφ; Q = S sinφ; .
Полная мощность S определяет амплитуду колебаний мгновенной мощности p ( t ) (см. рис. 7.7 ). Активную, реактивную и полную мощности можно непосредственно определить по комплексным напряжению и току на участке цепи.
Рассмотрим комплексную мощность — произведение комплексного напряжения на сопряженную величину комплексного тока :
Таким образом, вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть — реактивной мощности на рассматриваемом участке цепи.
Из полученных соотношений также следует:
= P + jQ = I 2 (R + jX) = I 2 Z; S* = P-jQ = U 2 (G — jB) = U 2 Y,
откуда Y = S * /U 2 .
При расчетах энергетических сетей, когда требуется обеспечить заданное потребление мощности в нагрузках, подключенных к узлам сети, исходными при расчете являются не проводимости этих нагрузок Y н , а потребляемые ими комплексные мощности S н . Поэтому система узловых уравнений, составленная для расчета режима в такой сети, является нелинейной: элементы матрицы узловых проводимостей Y н = S * н / U 2 н зависят от искомых узловых напряжений на нагрузках U н . Это существенно усложняет расчет и требует применения методов решения нелинейных задач, рассматриваемых в лекции 28 .
Баланс мощностей в цепи синусоидального тока. Условие баланса мощностей, вырабатываемых источниками любой сложной электрической цепи, и мощностей, потребляемых приемниками (см. п. 6.6 ), выполняется и для мгновенных мощностей при синусоидальном токе:
Поскольку это условие имеет место для любого момента времени, то оно должно соблюдаться отдельно как для средних за период составляющих мгновенной мощности — активных мощностей приемников и источников
так и для переменных составляющих мгновенной мощности, равных при ψ i = 0 . Рассматривая последние в момент времени w t = p /4, когда cos(2 w t + φ k )= – sinφ k , приходим к заключению, что из баланса пульсирующих составляющих вытекает условие баланса реактивных мощностей, генерируемых элементами цепи:
Входящие в левую часть равенства слагаемые, отвечающие емкостным элементам, будут отрицательными, так как для них φ k < 0.
Полученные условия баланса активных и реактивных мощностей можно также записать в форме баланса комплексной мощности