Построить точки пересечения прямой с поверхностью пирамиды

Пересечение прямой с пирамидой

Пересечение прямой с пирамидой — это задача по определению точек встречи прямой с поверхностью пирамиды. Поверхность пирамиды состоит из плоских граней: — треугольников для боковой поверхности; — многоугольника для поверхности основания.

Пересечение прямой с пирамидой: d ∩ SABC

Пересечение прямой с пирамидой

Прямая d и пирамида SABC занимают общее положение, поэтому решать задачу на пересечение прямой с пирамидой следует, применяя алгоритм пересечения прямой с плоскостью: — Заключаем прямую d в вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ; — Находим точки пересечения этой плоскости с боковыми ребрами пирамиды A, B, C: — γ_V ∩ ребро S»A» = 1″ ⇒ 1`; — γ_V ∩ ребро S»B» = 2″ ⇒ 2`; — γ_V ∩ ребро S»C» = 3″ ⇒ 3`; — Соединив полученные точки прямыми линиями, находим их точки пересечения с прямой d и в то же время с гранями пирамиды: — 1`-2` ∩ d` = N` ⇒ N»; — 1`-3` ∩ d` = K` ⇒ K».

Пересечение прямой с пирамидой — это также задача по определению видимости: — для фронтальной плоскости проекций производим с помощью конкурирующих точек: — в точке 1″ имеет место пересечение ребра S»A» и прямой d», перемещаясь вниз по линии связи точки 1 находим, что соответствующая ей точка прямой d` находится ниже соответствующей ей точка ребра S`A`, а это означает что на фронтальной плоскости проекций видима точка принадлежащая прямой d»; — в точке 3″ имеет место пересечение ребра S»C» и прямой d», перемещаясь вниз по линии связи точки 2 находим, что соответствующая ей точка ребра S`C` находится ниже соответствующей ей точки прямой d`, а это означает что на фронтальной плоскости проекций видима точка принадлежащая ребру S»C». — для горизонтальной плоскости проекций определению видимости производим аналогично.

Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией

Для построения фигуры, получаемой при пересечении призмы и пирамиды плоскостью, надо или найти точки, в которых ребра призмы или пирамиды пересекают данную плоскость, или найти отрезки прямых, по которым грани призмы или пирамиды пересекаются плоскостью. В первом случае построение сводится к задаче на пересечение прямой с плоскостью, во втором случае — на пересечение плоскостей между собой.

В тех случаях, когда секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, фигура сечения проецируется с искажением. Поэтому, если требуется определить натуральный вид фигуры сечения 1 ), то следует применять один из способов, которые позволяют находить длину отрезка, величину угла и т. д. (см. главу V).

На рис. 273 показано пересечение прямой четырехугольной призмы плоскостью, заданной пересекающимися прямыми EF и EG. Обозначим эту плоскость буквой δ.

При пересечении получается четырехугольник, вершины которого представляют собой точки пересечения ребер призмы с пл.δ.Так как в данном случае призма прямая и основание ее параллельно пл. π₁, то горизонтальная проекция фигуры сечения определяется сразу, без какого-либо построения: она накладывается на проекцию A’B’C’D’. Очевидно, можно найти точки К и L, в которых ребра призмы, проходящие через точки А и D, пересекают пл. δ, при помощи одной пл. α, в которой находится грань призмы α × δ = 1—2, откуда получаем точки К» и L».Проведя» пл. β, получим β × δ = 3 — 4 и точки М’ и N’.

1 ) Выражение «натуральный вид сечения» мы будем применять в том случае, когда фигура сечения дается без искажения.

Рис 273.Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией

Итак, способ построения, который указан на рис. 273, сводится к применению вспомогательных плоскостей α и β, проходящих через соответствующие грани призмы, и построению отрезков KL и MN, по которым эти грани пересекаются пл. δ.

На фронтальной проекции линия пересечения состоит из видимой и невидимой частей; видимая часть линии пересечения расположена на обращенных к зрителю видимых гранях.

На рис. 273 находящаяся под пл. δ нижняя часть призмы представлена как невидимая. Линия пересечения лишь прочерчена на гранях призмы.

Если секущая плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций (рис. 274, слева), то проекции фигуры сечения получаются без каких-либо дополнительных проекция K»P»M»N» располагается на следе β», горизонтальная проекция K’P’N’M’ совпадает с проекцией призмы.

На рис. 274 справа показано пересечение призмы пл. α, заданной пересекающимися прямыми АВ и ВМ₂, из которых ВМ₂ параллельна ребрам призмы. Следовательно, секущая плоскость в данном случае общего положения, параллельная

Рис 274.Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией

ребрам призмы. Она пересекает призмы по параллелограмму 1 — 2 — 3 — 4, стороны 1 — 2 и 3 — 4 которого параллельны ребрам призмы. Чтобы провести эти стороны, надо построить след пл. α на плоскости основания призмы и пересечь им это основание по прямой 1—4.

На рис. 275 показано пересечение пирамиды плоскостью общего положения α, выраженной следами. Дело сводится к нахождению точек пересечения ребер SA, SB и SC с пл. α, т. е. к задаче на пересечение прямой с плоскостью (см. § 25). Рассмотрим нахождение точки L, в которой ребро SB пересекает пл. α. Выполняем следующие действия: 1) через SB проводим вспомогательную плоскость, в данном случае горизонтально-проецирующую β; 2) находим прямую пересечения 1—2 плоскостей α и β; 3) находим точку L в пересечении прямых SB и 1 — 2.

Далее, так как в данном случае ребро SA расположено параллельно пл. π₂, проводим через него вспомогательную фронтальную плоскость δ. Она пересекает пл. α

Рис 275-276.Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией

по ее фронтали с начальной точкой 3; в пересечении этой фронтали с ребром SA получаем точку К.

Теперь обратим внимание на другую особенность в данном примере: проекция А’С’ параллельна следу h’_0α. Это тот случай, когда у двух плоскостей горизонтальные следы взаимно параллельны (h’_0α|| А’С’, но А’С’ — часть горизонтального следа плоскости грани SAC) и линия пересечения таких плоскостей является их общей горизонталью. Поэтому мы можем провести через уже найденную точку К прямую, параллельную ребру АС (или ||h’_0α, и так найти точку М.

Если бы не было этих особенностей, то следовало бы поступать аналогично построению точки L.

Чертеж на рис. 275 выполнен согласно условию, что пл. α прозрачна и что основным является нанесение на гранях линий разделения пирамиды на две части.

Пусть (рис. 276) пирамида рассечена пл. α, заданной пересекающимися прямыми АВ и SB, причем SB проходит через вершину пирамиды. Следовательно, пл. α рассекает ее по треугольнику, одна из вершин которого находится в точке S. Чтобы найти две другие вершины треугольника — точки 1 и 2, надо построить след пл. α на плоскости основания пирамиды. Остальное ясно из чертежа.

При пересечении поверхности призмы или пирамиды прямой линией получаются две точки. Для них встречается название точки входа и выхода. Чтобы найти эти точки, надо провести через данную прямую вспомогательную плоскость и найти линии ее пересечения с гранями; эти линии на гранях оказываются расположенными в одной плоскости с данной прямой и в своем пересечении дают точки, в которых данная прямая пересекает поверхность.

Могут быть случаи, когда нет надобности в таких построениях. Пример дан на рис. 277; положение проекций К’ и М’ очевидно, так как боковые грани призмы перпендикулярны к пл. π₁. По точкам К’ и М’ найдены точки К» и М».

Рис 277.Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией

На рис. 278 показано построение точек пересечения прямой линии с поверхностью пирамиды. Через прямую АВ проведена вспомогательная фронтально-проецирующая пл. α. Фронтальная проекция фигуры сечения пирамиды этой плоскостью сливается с фронтальной проекцией плоскости; горизонтальная проекция сечения найдена построением. Точки пересечения горизонтальной проекции прямой АВ с горизонтальной проекцией фигуры сечения представляют собой горизонтальные проекции искомых точек; по найденным горизонтальным проекциям (точки К’ и М’) построены фронтальные проекции (К» и М») точек пересечения.

Построение точек пересечения прямой линии с поверхностью призмы можно представить себе еще следующим образом. Положим, что мы вместо прямоугольного проецирования применим косоугольное. Спроецируем призму и прямую АВ (рис. 279) на пл. π₁ по направлению, параллельному ребрам данной призмы. Призма спроецируется в треугольник C₁D₁E₁, совпадающий е горизонтальной

Рис 278-279.Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией

проекцией нижнего основания призмы, а прямая АВ — в прямую А₁В₁, которая пересечет стороны треугольника C₁D₁E₁ в точках 2 и 3. Обратным проецированием мы получим проекции К’₁ и К’₂, а по ним К»₁ и К»₂.

Итак, мы рассмотрели пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией. Построения сводятся к решению задач на пересечение плоскостей и прямой с плоскостью, изложенных в §§ 24 — 26. Эти задачи имеют существенное значение и встречаются в различных случаях. Они же лежат в основе построения линий взаимного пересечения многогранных поверхностей, рассматриваемого в следующем параграфе.

Вопросы к §§ 39-42

Что называется контуром тела по отношению к плоскости проекций?
Чем задается призматическая поверхность?
Какие признаки позволяют установить, что на данном чертеже изображена призма (или параллелепипед)?
Чем задается поверхность пирамиды?
Что понимается под названием «тетраэдр»?
При каком условии для изображения пирамиды достаточно двух проекций?
Что называется призматоидом?
Что называется видом на машиностроительных чертежах?
В чем различие между видом и проекцией и при каком условии это различие упраздняется?
Какие применяются системы расположения изображений на технических чертежах?
Как строится фигура, получаемая при пересечении призмы или пирамиды плоскостью?
Как строятся точки пересечения призмы или пирамиды прямой линией (точки входа и выхода)?
Можно ли установить общность способов этого построения и построения точки пересечения плоскости прямой линией?
Как рассекается призма плоскостью, параллельной боковым ребрам призмы?
Как рассекается пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды?
Как можно применить косоугольное проецирование для нахождения точек пересечения призмы прямой линией?

5.2. Пересечение прямой линии с поверхностью многогранника

При пересечении поверхности призмы или пирамиды прямой линией получают две точки — входа и выхода. Чтобы найти эти точки, следует провести через заданную прямую вспомогательную плоскость и найти линии пересечения этой плоскости с гранями многогранника. Эти линии будут расположены в одной плоскости с заданной прямой и в своем пересечении дадут точки, в которых данная прямая пересекает поверхность многогранника.

На рис. 5.4 показан пример построения точек пересечения прямой линии DE с поверхностью пирамиды SABC.

Алгоритм решения данной задачи следующий:

проводим вспомогательную плоскость а, перпендикулярную плоскости п₂, через прямую DE (след этой плоскости а»);
находим проекции сечения пирамиды и плоскости ос. Сначала определяем фронтальные проекции точек пересечения плоскости и ребер пирамиды 7″, 2″, 3″, а затем по линиям связи — горизонтальные проекции Г, 2\ 3′;
находим точки пересечения прямой линии DE с гранями пирамиды. На пересечении линий Г2′ и D’E’ получаем горизонтальную проекцию одной точки — К’, а на пересечении линий 2’3′ и D’E‘ — проекцию второй точки — М’. По горизонтальным проекциям определяем положение фронтальных проекций — К» и М»\
определяем видимость, т. е. между точками К и М отрезок прямой линии будет невидимым.

5.3. Пересечение многогранника плоскостью

Линия пересечения гранной поверхности плоскостью есть плоская замкнутая ломаная линия. Звенья этой линии являются линиями пересечения соответствующих граней многогранника и секущей плоскости. На рис. 5.5 в качестве примера заданы пирамида SABC и секущая плоскость ос, перпендикулярная плоскости п2. Определим проекции сечения и его натуральный размер. Для построения фигуры, получаемой при пересечении пирамиды плоскостью, найдем точки, в которых ребра пирамиды пересекают эту плоскость: 1 — точка пересечения ребра SA с плоскостью ос, 2 — точка пересечения ребра SB с плоскостью а, 3 — точка пересечения ребра SC с плоскостью ос. На фронтальной плоскости проекций определяем проекции этих точек — /», 2″, 3″, а затем по линиям связи находим горизонтальные проекции — Г, 2′, 3′. Соединив проекции на горизонтальной плоскости проекций, получим горизонтальную проекцию сечения. На фронтальной плоскости проекций проекция сечения совпадает со следом секущей плоскости (7″, 2″, 3″). Для определения натурального размера сечения применяют один из способов преобразования чертежа. В данном примере используем способ плоскопараллельного перемещения (см. рис.4.5). Рис. 5.5
Полученная проекция 1’1 2’1 3’1 является натуральным размером сечения пирамиды плоскостью.

5.4. Развертки гранных поверхностей

Разверткой называется фигура, получаемая при перемещении всех граней многогранника в плоскости чертежа, причем без складок и разрывов. Построение развертки поверхности многогранника сводится к построению изображений его граней в натуральном виде. Рассмотрим полную развертку поверхности пирамиды, состоящей из боковой поверхности и основания. На рис. 5.6 дан чертеж трехгранной пирамиды, из которого видно, что основание пирамиды треугольник ABC параллелен плоскости π1). Следовательно, горизонтальные проекции ребер при основании пирамиды изображены в натуральном виде, т.е. А’С’ = АС, А’В’ = АВ, В’С = ВС, а ее боковые ребра — это отрезки прямых линий общего положения. Натуральный размер боковых ребер на рис. 5.6 определен методом плоскопараллельного перемещения: S»1A»1 = SA, S»1B» = SB, S»1C’1′ = SC. Далее по натуральным размерам ребер, учитывая общие вершины треугольников, которые являются гранями пирамиды, строим развертку. Для построения полной развертки призмы, состоящей из развертки ее боковой поверхности и двух оснований, используют способ нормального сечения и способ раскатки. Способ нормального сечения заключается в том, что поверхность призмы пересекают плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам. Затем находят натуральный размер сечения, разворачивают линии этого сечения в одну прямую линию и в точках сечения перпендикулярно развернутой линии откладывают натуральные размеры ребер. При этом развертка боковой поверхности начинается и заканчивается одним и тем же ребром. Способ раскатки заключается в том, что боковые грани призмы в натуральном виде последовательно располагают в одной плоскости посредством вращения вокруг соответствующего ребра. Рассмотрим пример построения развертки трехгранной наклонной призмы способом нормального сечения (рис. 5.7). Плоскости оснований данной призмы (треугольники ABC и EFD) параллельны горизонтальной плоскости проекций, и ребра основания проецируются на плоскость л^ в натуральном виде, т.е. А’В’ = АВ, В’С’ = ВС, А’С’ = АС. Боковые ребра этой призмы параллельны плоскости п2 и, следовательно, проецируются на фронтальную плоскость тоже в натуральном виде, т. е. А»Е» — = АЕ, B»F» = BF, С»D» = CD. . Для построения боковых граней (четырехугольников) пересечем заданную поверхность призмы фронтально-проецирующей плоскостью а (см. рис. 5.7), перпендикулярной боковым ребрам. При этом фронтальные проекции ребер и секущей плоскости будут взаимно-перпендикулярны, так как ребра являются фронтальными прямыми. В сечении получим треугольник 123, фронтальная проекция которого 1″2″3″, а горизонтальная — 1’2’З’. Натуральные размеры сторон этого треугольника определяем способом плоскопараллельного перемещения. Рис. 5.6 Замкнутую ломаную линию сечения 1’1 2’1 3’1 развернем в прямую линию 1 2 3 1, и в точках 1, 2, 3, 1 проведем к ней перпендикуляры. Затем в точке 1 отложим вверх отрезок 1А = 1″А», а вниз — отрезок 1E = 1″Е». Аналогично построим в натуральном виде ребра в точках 2, 3, 1 и пристроим к ребрам АС и DE стороны треугольников оснований в натуральном виде. Получим полную развертку поверхности призмы. Рассмотрим пример построения развертки трехгранной наклонной призмы способом раскатки (рис. 5.8), который заключается в том, что грани призмы поворачиваются вокруг ребра до положения, параллельного плоскости π2. В этом случае вершины А, Е, В, F, С, D призмы будут перемещаться в плоскостях, перпендикулярных ее ребрам, а так как грани изображаются на плоскости п2 без искажения, то,поворачивая одну грань за другой, получим боковую развертку даннойпризмы. Затем, построив основания призмы, получим полную ее развертку.
Начнем построение с грани AEDC. При ее вращении вокруг ребра АЕ точка С» будет перемещаться по перпендикуляру к C»D». Пересечем этот перпендикуляр дугой радиуса R1 =А’С’=АС с центром в точке А» и получим точку С. Также можно определить точку D. Соединив точки А», С, D, Е», получим очертание грани ACDE. Аналогично получим очертание граней CBFD и BAEF. Дополнив развертку боковой поверхности призмы основаниями, получим полную развертку.