Развертка конуса начертательная геометрия

Развертка конуса.

Если задана поверхность прямого конуса, то развертка его боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ=360 о r / l, где r – радиус окружности основания конуса. Для простоты построения используется аппроксимация длинны окружности основания конуса, для чего конус вписывается в 12-угольную пирамиду (рис.6).

Рисунок 5. Построение развертки конуса.

Построение развертки конуса начинаем с деления основания на 12 частей радиусом. Точки деления обозначаем римскими цифрами. Радиусом, равном очерковой образующей, строим сектор круга. Длина дуги определяется, последовательно откладывая на ней полученные при делении отрезки. Для построение точки С, принадлежащей поверхности конуса, строим на развертке образующую, на которой располагается точка. Чтобы определить натуральную величину расстояния от точки С до вершины конуса, переносим ее на очерковую образующую (метод вращения разбирали при построении развертки пирамиды).

Построение линии взаимного пересечения кривых поверхностей

Линией взаимного пересечения кривых поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. Из этого множества выделяют характерные (опорные, или главные) точки, с которых следует начинать построение этой линии. К таким точкам относятся:

экстремальные точки — верхняя и нижняя точки линии пересечения относительно той или иной плоскости проекций;

точки, расположенные на очерковых образующих поверхностей, которые определяют границы видимости, точки пересечения оснований, и т.д.

Для уточнения формы линии пересечения используются вспомогательные точки.

Для определения точек часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей.

Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности.

Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода — метод секущих плоскостей и метод секущих сфер.

Следует имеет в виду, что линия пересечения двух поверхностей в проекциях всегда располагается в зоне общей для этих пересекающихся поверхностей

Характер линии пересечения кривых поверхностей зависит от формы поверхностей и от из взаимного положения. Линия пересечения имеет форму замкнутой или незамкнутой кривой, за исключением случаев, когда пересекаются два цилиндра, оси вращения которых параллельны, когда пересекаются два конуса вершины которых совпадают. В этих случаях линия пересечения прямая.

Задача на построение линии пересечения значительно упрощается, если одна поверхность занимает проецирующее положение. Для этого целесообразно воспользоваться преобразованием чертежа, чтобы представить пересекающиеся поверхности в частном положении или воспользоваться третьей проекцией.

Например (рис.1), на П₃ цилиндр занимает проецирующее положение.

Рисунок 1. Построение линии пересечения цилиндра и конуса с

использованием третьей проекции.

Рассмотрим некоторые случаи взаимного расположения поверхностей, которые определяют характер линии пересечения.

1. Поверхности могут полностью или не полностью пересекаться (рис. 2). В случае неполного проникновения (рис.2. а.) линия пересечения – замкнутая или незамкнутая пространственная кривая линия, симметричная очерковой образующей. В случае полного проникновения (рис.2 б.) линия пересечения состоит из двух симметричных частей. На рисунке 2. в) две симметричные части кривой соединяются в точке касания. Проникновение с точкой касания.

Рисунок 2. Пересечение конуса и цилиндра

а) Неполное проникновение; б) Полное проникновение; в) Проникновение

с точкой касания.

2. Оси поверхностей вращения параллельны:

— находятся в одной меридиональной плоскости (рис.3 а.). Линия пересечения симметрична относительно главного меридиана и совпадает.

— находятся в разных плоскостях (рис.3 б.). Линия пересечения симметрична относительно линии, соединяющей центры поверхностей.

Рисунок 3. а) Ось конуса и цилиндра находятся в одной меридиональной плоскости, б) Ось конуса и цилиндра находятся в разных плоскостях.

3. Оси поверхностей вращения совпадают. Такие поверхности называются соосными. Линия пересечения таких поверхностей окружность (рис. 4).

Рисунок 4. Пересечение соосных поверхностей цилиндра, конуса и сферы.

4. Особый случай пересечения поверхностей. Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания. Рисунок 5.

а) б)

Рисунок 5. Особый случай пересечения поверхностей.

а) Наглядное изображение. б) Эпюр.

Рассмотрим случай пересечения поверхностей вращения, ни одна из которых не является проецирующей. В этом случае линия пересечения строиться на обеих плоскостях проекций (рис. 6).

Построение линии пересечения выполняется в следующем порядке:

Анализируем взаимное положение и форму поверхностей.
Определяем положение основных и вспомогательных точек методом секущих плоскостей.
Соединяем полученные точки.

Разберем подробно второй пункт. Точки верха (1) и точка низа кривой (4) располагаются на пересечении главных меридианов (очерковых образующих) сферы и конуса, так как их оси вращения лежат в одной плоскости, параллельной П₂. и через них можно провести вспомогательную секущую плоскость. Между точками 1 и 4 будут располагаться основные и вспомогательные точки. Проведем вспомогательную секущую плоскость перпендикулярно оси вращения конуса на уровне экватора сферы, для того чтобы определить положение основных точек (3), которые на горизонтальной проекции определят границу видимости, а на фронтальной плоскости проекций они будут совпадать ввиду симметрии линии пересечения. Данная вспомогательная секущая плоскость II пересекает конус по окружности соответствующего радиуса, сферу также по окружности. Построим эти окружности на горизонтальной плоскости проекций. На пересечении этих окружностей (сечений) получаются горизонтальные проекции искомых точек 3. Теперь необходимо построить их фронтальные проекции, спроецировав на секущую плоскость. Для уточнения формы кривой воспользуемся вспомогательными точками (2). Для этого проведем вспомогательную секущую I плоскость между точкой 1 и экватором сферы. Проведение секущей плоскости III ниже точки 4 не имеет смысла, так как в этой плоскости сфера и конус не будут иметь общих точек. Теперь можно соединить полученные точки с учетом видимости на горизонтальной проекции. Рисунок 6. Построение линии пересечения конуса и сферы.

Развертка конуса

Развертка конуса строится таким же способом, который используются при развертывании боковой поверхности пирамиды — способом треугольников. Коническая поверхность заменяется многогранной пирамидальной поверхностью, вписанной в данную коническую.

Развертка конуса

Развертка конуса вращения

Развертка конуса

представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности L = |SA|, а центральный угол: φ = 360° *(R/L).

Развертка конуса вращения усеченного

Развертка конуса

На рисунке представлено построение развертки боковой поверхности усеченного конуса без построения его вершины: — на чертеже усеченного конуса строится вспомогательный конус подобный заданному из условия K=D/d₁, K — коэффициент кратности оснований конусов целое число. Принимаем K=3; — разделим половину окружности основания d₁ на 6 равных частей; — строим развертку вспомогательного конуса с вершиной S по точкам на дуге развертки; — на оси симметрии развертки (биссектриса полной развертки) выбрать произвольную точку K и провести семейство лучей , соединяющих ее с точками 0, 2, 4, 6 развертки вспомогательного конуса; — откладываем на проведенных лучах отрезки, величины которых равны: KO₀ = K*K0; K2₀ = K*K2; K4₀ = K*K4; K6₀ = K*K6; — через построенные точки 0₀, 2₀, 4₀, 6₀ проводим прямые параллельные соответствующим образующим развертки вспомогательного конуса, откладывая на них натуральную величину b образующей усеченного конуса и отмечая при этом точки O 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 ; — соединяем построенные точки плавными линиями и получаем искомую развертку.

Развертка конуса вращения усеченного плоскостью общего положения выполнено в Графическая работа 13.

Построение развертки конуса

Дано: Пересечение конуса и цилиндра.
Необходимо: Построить развертку конуса и нанести на ней линию их пересечения.

В этом видеоуроке построим развертку конуса. Построение развертки конуса не сложнее чем ранее рассмотренные развертки многогранников: Развертка пирамиды и Развертка призмы.

Примечание

Решение задач по начертательной геометрии я произвожу в системе автоматизированного проектирования Автокад и Автокад 3D. Данный прием обучения позволит развить пространственное мышление и закрепить владение Автокад.

Как построить развертку конуса и нанести на ней линию их пересечения?

Построить развертку конуса можно 2 путями:

Разделить основание конуса на 12 частей (вписываем правильный многогранник – пирамиду). Можете разделить основание конуса и на большее или меньше количество частей, т.к. чем меньше хорда, тем точнее построение развертки конуса. Затем на дугу кругового сектора перенести хорды.
Построение развертки конуса, по формуле определяющей угол кругового сектора.

Так как нам необходимо нанести на развертку конуса линии пересечения конуса и цилиндра, то нам все равно придется делить основание конуса на 12 частей и вписывать пирамиду, поэтому мы пойдем сразу по 1 пути построения развертки конуса.

Алгоритм построения развертки конуса

Делим основание конуса на 12 равных частей (вписываем правильную пирамиду).
Строим боковую поверхность конуса, которая представляет собой круговой сектор. Радиус кругового сектора конуса равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. На дугу сектора переносим 12 хорд, которые определят ее длину, а также угол кругового сектора.
К любой точке дуги сектора пристраиваем основание конуса.
Через характерные точки пересечения конуса и цилиндра проводим образующие.
Находим натуральную величину образующих.
Строим данные образующие на развертке конуса.
Соединяем характерные точки пересечения конуса и цилиндра на развертке.

Более подробно в видеоуроке по начертательной геометрии в Автокад.

Во время построения развертки конуса мы будем использовать Массив в Автокад — Круговой массив и массив по траектории. Рекомендую к просмотру данные видеоуроки Автокад. Видеокурс Автокад 2D на момент написания статьи содержит классический способ построения кругового массива и интерактивный при построении массива по траектории.