Волновое число и длина волны

автор: admin
06.04.2024

Волновое число

$k \equiv \frac<2\pi> Волново́е число́ (также [1] называемое пространственной частотой) — это отношение 2π радиан к длине волны: <\lambda>,» width=»» height=»» /> В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак минус, если волна распространяется в отрицательном направлении (против оси). В многомерном — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определенное выбранное направление. <img decoding=$

Обычное обозначение [3] : .

Единица измерения — рад·м −1 , физическая размерность м −1 . (В системе СГС: см −1 ).

В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см −1 ). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π.

Используется в физике, математике [4] (преобразование Фурье) и таких приложениях, как обработка изображений.

Определение: волновым числом k называется быстрота роста фазы волны φ по пространственной координате [5] :

$k \equiv \frac<d \varphi> < dx>.» width=»» height=»» /> Поскольку в большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или по крайней мере почти монохроматической), производную в определении можно (для этих самых распространенных случаев) заменить на выражение с конечными разностями: <img decoding=$

Волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра).
Волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на 1 метр.
Волновое число равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров.

Основные соотношения

$k \equiv \frac<2\pi> <\lambda>= \frac<2\pi\nu>>=\frac<\omega>>,» width=»» height=»» /> — λ — длина волны, — <img decoding=$ (греческая буква «ню») — частота, — _φ — Фазовая скорость волны, — ω — угловая частота.

Для монохроматической бегущей волны можно записать:

$\varphi = k x - \omega t$ — для фазы, $u(x,t) = const\cdot \mathrm<cos>(k x — \omega t + \varphi_0)» width=»» height=»» /> — для самой волны, <img decoding=$ может быть спрятано в const ,

для монохроматической стоячей волны:

$u(x,t) = const\cdot \mathrm (k\cdot (x-x_0)) \mathrm(\omega\cdot (t-t_0)).» width=»» height=»» /> <h3>Замечания</h3> Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (т.е. через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна вообще говоря содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближенно быть описаны как волны с определенным волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа). Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, т.е. волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями. В сущности, пожалуй, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с x, вообще говоря, даже очень быстро, это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида: <img decoding=$

,» width=»» height=»» />

для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.

Волновое число в квантовой физике

В квантовой физике связывается с компонентой импульса по данному направлению:

$p_x = \hbar k_x,$

p_x — — компонента импульса по направлению x (для одномерной системы — полный импульс), k_x — — волновое число (компонента волнового вектора) по направлению x (для одномерной системы — просто волновое число), ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).

Поскольку константа Планка — универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать ħ = 1. Тогда

p_x = k_x,

то есть в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.

То же можно сказать для полного импульса и волнового числа без указания направления абсолютной величины волнового вектора):

$p = \hbar k,$

а в единицах ħ = 1:

p = k.

В частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближенно — для ультрарелятивистских частиц) можно также написать:

$k = \frac<E> <\hbar c>,» width=»» height=»» /> E — энергия, ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака), c — скорость света в вакууме. <h3>Примечания</h3> <img decoding=$

↑ Это практически полные синонимы, различающиеся несколько лишь традиционными предпочтениями употребления в разных областях, так, термин волновое число в основном употребляется в физике (впрочем, наряду с термином пространственная частота), в математике же и различных приложениях (таких, как обработка изображений) обычно употребляется для сходного понятия термин пространственная частота и даже просто частота. Дополнительно заметим, что для термина пространственная частота (частота) нередко допускается многомерное понимание, то есть он употребляется и в качестве практического синонима термина волновой вектор, тогда как для термина волновое число такое употребление по понятным причинам практически исключено. Впрочем, компоненты волнового вектора могут называться волновыми числами по осям координат.
↑ Круговая частота измеряется в радианах в секунду, волновое число — в радианах на метр.
↑ Зачастую используются и другие, как правило, оговоренные явно.
↑ В математике (и многих приложениях) — в основном в терминологической форме пространственная частота или даже просто частота.
↑ В одномерном случае выбор пространственной координаты однозначен (с точностью до зеркального отражения), в многомерном же случае по умолчанию координата x выбирается так, чтобы совпадать с направлением максимальной скорости роста фазы, то есть перпендикулярно фазовому фронту; в этом случае волновое число есть абсолютная величина волнового вектора. Наконец иногда направление x задается явно и может не совпадать с упомянутым только что; тогда обычно говорят о волновом числе по направлению x и явно указывают это в обозначении: .
↑ Включая и формулировку в начале статьи

См. также

Физические величины по алфавиту
Теория волн
Физические величины

Wikimedia Foundation . 2010 .

Волновое число — Wavenumber

Диаграмма, иллюстрирующая взаимосвязь между волновым числом и другими свойствами гармонических волн.

В физических науках, волновое число (также волновое число или повторяемость ) — это пространственная частота волны , измеренная в циклов на единицу расстояния или радиан на единицу расстояния. В то время как временную частоту можно представить как количество волн в единицу времени, волновое число — это количество волн на единицу расстояния.

В многомерных системах волновое число — это величина волнового вектора. Пространство волновых векторов называется обратным пространством. Волновые числа и волновые векторы играют важную роль в оптике и физике рассеяния волн, таких как дифракция рентгеновских лучей, дифракция нейтронов, дифракция электронов и элементарная частица физика. Для квантово-механических волн волновое число, умноженное на уменьшенную постоянную Планка, составляет канонический импульс..

Волновое число может использоваться для задания величин, отличных от пространственной частоты. В оптической спектроскопии он часто используется как единица временной частоты, предполагая определенную скорость света.

1 Определение
- 1.1 Комплексное
Определение

Волновое число, используемое в спектроскопии и большинстве областей химии, определяется как количество длины волны на единицу расстояния, обычно сантиметры (см):

где λ — длина волны. Иногда его называют «спектроскопическим волновым числом». Оно равно пространственной частоте.

. В теоретической физике чаще используется волновое число, определяемое как количество радиан на единицу расстояния, иногда называемое «угловым волновым числом»:

Когда волновое число представлено символом ν , частота все еще отображается, хотя и косвенно. Как описано в разделе о спектроскопии, это выполняется с помощью соотношения ν sc = 1 λ ≡ ν ~ > > \; = \; > \; \ Equiv \; >> , где ν s- частота в герцах. Это сделано для удобства, так как частоты имеют тенденцию быть очень большими.

Он имеет размеры обратной длины, поэтому его единица СИ — это величина, обратная метрам (м). В спектроскопии волновые числа обычно указываются в единицах cgs (то есть в обратных сантиметрах; см); в этом контексте волновое число раньше называлось кайзер, в честь Генриха Кайзера (в некоторых более старых научных работах использовалась эта единица, сокращенно K, где 1 K = 1 см). Угловое волновое число может быть выражено в радианах на метр (рад⋅м) или, как указано выше, поскольку радиан является безразмерным.

Для электромагнитного излучения в вакууме волновое число пропорционально частоте и энергии фотона. По этой причине волновые числа используются как единица энергии в спектроскопии.

Комплексное

Комплексное волновое число может быть определено для среды с комплексной относительной проницаемостью ε r > , относительная проницаемость μ r > и показатель преломления n как:

К знак равно К 0 ε р μ р знак равно К 0 N \ mu _ >> = k_ n>

где k 0 — волновое число свободного пространства, как указано выше. Мнимая часть волнового числа выражает ослабление на единицу расстояния и полезна при изучении экспоненциально затухающих затухающих полей.

в волновых уравнениях

Здесь мы предполагаем, что волна регулярна в том смысле, что различные величины, описывающие волну, такие как длина волны, частота и, следовательно, волновое число, являются постоянными. См. wavepacket для обсуждения случая, когда эти количества не постоянны.

В общем, угловое волновое число k (то есть величина волнового вектора ) задается как

где ν — частота волны, λ — длина волны, ω = 2πν — угловая частота волны, а v p — фазовая скорость волны. Зависимость волнового числа от частоты (или, чаще, частоты от волнового числа) известна как дисперсионное соотношение.

для частного случая электромагнитной волны в вакууме, в которой волна распространяется со скоростью света, k определяется выражением:

Для частного случая материальной волны, например электронной волны, в нерелятивистском приближении (в случае свободной частицы, то есть частица не имеет потенциала энергия):

Волновое число также используется для определения групповой скорости.

В спектроскопии

В спектроскопии «волновое число» ν ~ >> часто относится к частоте, которая была разделена на скорость . света в вакууме :

Историческая причина использования этого спектроскопического Волновое число, а не частота — это то, что оно оказалось удобным при измерении атомных спектров: спектроскопическое волновое число является обратной величиной длины волны света в вакууме:

который остается практически таким же в воздухе, поэтому спектроскопическое волновое число напрямую связано с углами света, рассеянного от дифракционные решетки и расстояние между полосами в интерферометрах, когда эти инструменты работают в воздухе или в вакууме. Такие волновые числа впервые были использованы в расчетах Иоганна Ридберга в 1880-х годах. Комбинированный принцип Ридберга – Ритца 1908 года также был сформулирован в терминах волновых чисел. Несколькими годами позже спектральные линии могли быть поняты в квантовой теории как разности между уровнями энергии, энергия пропорциональна волновому числу или частоте. Тем не менее, спектроскопические данные продолжали составлять таблицы с точки зрения спектрального волнового числа, а не частоты или энергии.

где R — константа Ридберга, а n i и n f — это главные квантовые числа начального и конечного уровней соответственно (n i больше, чем n f для излучения).

Спектроскопическое волновое число может быть преобразовано в энергию на фотон E с помощью соотношения Планка :

Его также можно преобразовать в длину волны света:

где n — показатель преломления среды. Обратите внимание, что длина волны света изменяется при прохождении через различные среды, однако спектроскопическое волновое число (то есть частота) остается постоянным.

Обычно обратный сантиметр (см) используется для ν ~ >> так часто, что такие пространственные частоты выражаются некоторыми авторами «в волновых числах», неправильно переводя название величины в саму единицу СГС см.

Волновое число в обратных сантиметрах может быть преобразовано в частоту в ГГц умножением на 29,9792458 (скорость света в сантиметрах в наносекунду).

См. также
- Пространственная частота
- Показатель преломления
- Зональное волновое число
Волновое число

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите СЮДА

Волновое число — это отношение 2π радиан к длине волны, то есть это пространственный аналог круговой частоты ω

$\LARGE k=\frac<2\pi > <\lambda >=\frac<\omega ><\upsilon >=\frac<2\pi > <\omega T>= \frac» width=»175″ height=»22″ /><div class='code-block code-block-12' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

Волновым числом часто называют величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см−1).

В формуле мы использовали :

— Волновое число

— Длина волны

— Угловая частота

— Фазовая скорость волны

— Период волны

— Энергия

Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волновой процесс за время одного периода:

1)На поверхности жидкости

2)Упругие (механические) – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные.

Продольные волны – частицы среды колеблются в направлениях распространения волны.

Поперечные волны – в плоскостях, в перпендикулярных направлению распространения волны.

Упругая волны называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

3)Электромагнитные – электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью.

Волновой вектор — вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно волновому числу.

Волновой вектор обычно обозначается латинской буквой и измеряется в обратных сантиметрах.

Волновое число связано с длиной волны λ соотношением: . Связь между волновым вектором и частотой задаётся законом дисперсии. Все возможные значения волновых векторов образуют обратное пространство или k-пространство.

Волновое число — это отношение 2π радиан к длине волны, то есть это пространственный аналог круговой частоты ω. Единица измерения — рад·м −1 .

Волновое число численно равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров.

Обозначение — k, формула:

где:

— λ — длина волны,

— v_p = v_ф — Фазовая скорость волны,

— ω — угловая частота,

— E — энергия,

— ħ — постоянная Планка

9. Уравнение плоской и сферической волны. Волновое уравнение.

Плоская волна – волна, волновые поверхности которой имеют вид плоскостей, параллельных друг другу.

Сферическая волна – волна, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер.

Волновое уравнение:

10. Энергия упругой волны, вектор Умова.

В среде распространяется плоская упругая волна и переносит энергию, величина которой в объеме равна

Где объемная плотность среды. Если выбранный объем записать как где S – площадь его поперечного сечения, а — его длина, то среднее количество энергии, переносимое волной за единицу времени через поперечное сечение S, называется потоком через его поверхность

Количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны, называется плотностью потока энергии волны.

Эта величина определяется соотношением: где

-объемная плотность энергии волны,

— фазовая скорость волны. Так как фазовая скорость волны — вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны, то можно величине плотности потока энергии I придать смысл векторной величины: Величина вектор плотности энергии волны, впервые была введена Н.А. Умовым в 1984 году и получила название вектора Умова. Подобная величина для электромагнитных волн называется вектором Умова — Пойнтинга.

Интенсивностью волны называется модуль среднего значения вектора Умова

Плотностью потока энергии называется энергия, переносимая волной в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распределения волны.

Вектор плотности потока энергии – это вектор, численно равный плотности потока энергии и совпадающий по направлению с направлением распространения волны.

Волновое число и длина волны