Закон ома в цепи с конденсатором

Закон ома в цепи с конденсатором

Построим график зависимости амплитуды тока от частоты подаваемого напряжения, т.е. график функции (6), для разных значений активного сопротивления. Этот график изображён на рис. 6, верхняя кривая соответствует маленькому сопротивлению, нижняя –большому. Из формулы (6) видно, что при частоте, равной нулю, равна нулю также амплитуда тока. В асимптотическом случае при стремлении частоты ω к бесконечности амплитуда тока также стремится к нулю.

Функция имеет единственный максимум, соответствующий минимальному значению знаменателя дроби, при равенстве нулю реактивного сопротивления X = | X L − X C | = | ω L − 1 ω C | . Отсюда следует, что максимальная амплитуда тока наблюдается при частоте, равной ω 0 = 1 L C , т.е. при частоте свободных незатухающих колебаний колебательного контура с индуктивностью L и ёмкостью С. Возрастание амплитуды тока при частоте ω₀ является типичным резонансным явлением, а частота ω 0 = 1 L C

Электрический резонанс, наблюдаемый при последовательном соединении активного сопротивления, индуктивности и ёмкости, называется резонансом напряжений. Согласно (10) при резонансе разность фаз между током и напряжением равна нулю, т.е. ток и напряжение совершают колебания в одинаковой фазе. Полное сопротивление цепи при резонансе равно своему наименьшему возможному значению – активному сопротивлению.

Вычислим тепловую мощность, выделяемую в цепи переменного тока. За малое время dt электрические силы в цепи совершают работу d A = U d q = U I d t , где dq – протекающий за это время заряд. Подставляя сюда ток и напряжение из формул (8) и (9), получаем d A = U 0 I 0 cos ω t cos ( ω t − φ ) . Интегрируем это соотношение по времени за один период от нуля до T = 2 π ω , при этом пользуемся тригонометрическим соотношением cos α cos β = 1 2 ( cos ( α-β ) + cos ( α+β ) ) . Таким образом, полная работа электрических сил за один период равна A = 1 2 U 0 I 0 ∫ 0 T ( cos φ + cos ( 2 ω t − φ ) ) d t = U 0 I 0 T cos φ 2 , а второй интеграл равен нулю. Таким образом, средняя мощность электрических сил за период равна

N = A T = 1 2 U 0 I 0 cos φ .

(11)

Эта мощность выделяется на активном сопротивлении в виде тепла, константа cosφ в электротехнике обычно называется коэффициентом передачи мощности. При резонансе в цепи сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю, следовательно, коэффициент передачи мощности равен единице. Таким образом, в случае резонанса средняя тепловая мощность

N = 1 2 I 0 2 R = U 0 2 2 R .

Эта формула напоминает обычный закон Джоуля – Ленца для постоянного тока, отличие только в двойке в знаменателе. Чтобы избавиться от этой двойки и пользоваться привычной формулой Джоуля – Ленца, вводят эффективные или действующие значения силы тока и напряжения, отличающиеся от амплитудных значений этих величин в 2 раз: U эф = U 0 2 , I эф = I 0 2 . Именно эффективные значения величин измеряют универсальные электроизмерительные приборы, которыми можно пользоваться как в цепях постоянного, так и переменного тока.

Кадр из компьютерного эксперимента приведён на рис. 7. В правом верхнем углу находится поле, на котором помещаются осциллограммы напряжения (синий цвет) и тока (красный цвет). Амплитуда тока рассчитывается по формуле (6). На осциллограмме её можно измерить при помощи линейки, которая перемещается по рабочему полю в горизонтальном направлении при помощи мышки. Сдвиг фаз между током и напряжением вычисляется по формуле (10), на осциллограмме её можно оценить визуально по горизонтальному смещению относительно друг друга синусоид тока и напряжения. В частности, на рис. 7 сдвиг фаз – около 60 градусов, а амплитуда тока около 12 единиц.

В верхнем левом углу рисуется схема соответствующей электрической цепи, вид которой выбирается при помощи четырёх радиокнопок на поле под осциллограммами. В нижнем левом углу помещаются три радиокнопки для задания периода колебаний подаваемого в цепь напряжения.

Распечатка программы данного компьютерного эксперимента приведена в приложении.

Закон Ома для переменного тока

После открытия в 1831 году Фарадеем электромагнитной индукции, появились первые генераторы постоянного, а после и переменного тока. Преимущество последних заключается в том, что переменный ток передается потребителю с меньшими потерями.

При увеличении напряжения в цепи, ток будет увеличиваться аналогично случаю с постоянным током. Но в цепи переменного тока сопротивление оказывается катушкой индуктивности и конденсатор. Основываясь на этом, запишем закон Ома для переменного тока: значение тока в цепи переменного тока прямо пропорционально напряжению в цепи и обратно пропорционально полному сопротивлению цепи.

где

• I [А] – сила тока,
• U [В] – напряжение,
• Z [Ом] – полное сопротивление цепи.

Полное сопротивление цепи

В общем случае полное сопротивление цепи переменного тока (рис. 1) состоит из активного (R [Ом]), индуктивного, и емкостного сопротивлений. Иными словами, ток в цепи переменного тока зависит не только от активного омического сопротивления, но и от величины емкости (C [Ф]) и индуктивности (L [Гн]). Полное сопротивление цепи переменного тока можно вычислить по формуле:

где

• — индуктивное сопротивление, оказываемое переменному току, обусловленное индуктивностью электрической цепи, создается катушкой.
• — емкостное сопротивление, создается конденсатором.

Полное сопротивление цепи переменного тока можно изобразить графически как гипотенузу прямоугольного треугольника, у которого катетами являются активное и индуктивное сопротивления.

Рис.1. Треугольник сопротивлений

Учитывая последние равенства, запишем формулу закона Ома для переменного тока:

– амплитудное значение силы тока.

Рис.2. Последовательная электрическая цепь из R, L, C элементов.

Из опыта можно определить, что в такой цепи колебания тока и напряжения не совпадают по фазе, а разность фаз между этими величинами зависит от индуктивности катушки и емкости конденсатора:

Решение задач:

Цепь переменного тока состоит из последовательно соединенных конденсатора (емкостью С), катушки индуктивности (L) и активного сопротивления (R). На зажимы цепи подается действующее напряжение (U), частота которого ν. Чему равно действующее значение силы тока в цепи?

Проверка закона ома для переменного тока

Часть IV. Проверка закона Ома при параллельном соединении катушки и конденсатора

Рис. 6. Электрическая схема.

Для параллельного соединения катушки и конденсатора (рис. 6) полное сопротивление Z согласно формуле (8) можно записать

, (21)

,

, ,

Модуль полного комплексного сопротивления Z в приближенной форме запишется

(22)

так как в нем опущены слагаемые, величина которых мала.

Экспериментальное значение Z определяют как и в других случаях, измеряя ток и напряжение. Вычислив экспериментальное значение Z, сравнивают его со значением, рассчитанным по формуле (22).

Лабораторная работа № 2.

Проверка закона ома для переменного тока

Цель работы: 1. Определить омическое R и индуктивное R_L

2. Емкостное сопротивление R_С конденсатора;

3. Проверить закон Ома для переменного тока

с различными элемента цепи.

Приборы и принадлежности:

1. Катушка индуктивности;

3. Многопредельный амперметр;

5. Источник питания.

Краткая теория

Электрические цепи переменного тока нельзя описать методами, которые используются для цепей постоянного тока. Для их описания необходимо исходить из того, что в более совершенных физических теориях сохраняется вид физических законов, изменяется лишь представление физических величин, связь между которыми устанавливают эти законы. Поэтому закон Ома постоянного и переменного тока записывается одинаково. Вопрос в другом, как должны быть представлены физические величины, которые входят в этот закон. В современной физике хорошо разработано представление физических величин, которые, как правило, изображаются или комплектными числами, или векторами в п — мерном векторном пространстве, или операторами, или матрицами. Для переменного тока достаточно использование комплексной плоскости, где скалярные физические величины — сила тока, напряжение, сопротивление, эдс — представлены точками, которым соответствуют радиусы — векторы на этой плоскости, поэтому необходимо знание операций сложения, умножения, деления комплексных чисел и их геометрической интерпретации.

Рассмотрим, как изменяется ток в цепи, где имеется омическое сопротивление R (рис.1а), индуктивность L (рис. 1б) и емкость С (рис. 1в).

Рис. 1. Омическое сопротивление, индуктивность

и емкость в цепи переменного тока.

Для цепи с омическим сопротивлением R (рис. 1а) имеем

(1)

где — амплитудное значение тока, равное .

В цепи с индуктивностью L переменный магнитный поток наводит в катушке индукционный ток, направленный против основного тока, уменьшая его. Поэтому катушку индуктивности можно рассматривать как некоторое сопротивление, которое называется индуктивным R_L. Найдем закон изменения тока I и величину индуктивного сопротивления (рис. 1б).

(2)

Интегрируя (2), получаем

(3)

— индуктивное сопротивление катушки.

Конденсатор С в цепи переменного тока (рис. 1в) периодически перезаряжается, в цепи проходит ток, величина которого зависит от частоты w и емкости С

(5)

, , (17)

Закон Ома для полной цепи

Возьмем источник постоянного тока, состоящий из сосуда с серной кислотой и помещёнными в него цинковым и угольным электродами. Цинк отдаёт в кислоту двухвалентные ионы, становясь согласно закону сохранения заряда отрицательно заряженным. Для рассмотрения закона Ома для полной цепи на участке между электродами помещается резистор, замыкающий цепь, что приводит к появлению постоянного электрического тока – избыток электронов цинка начнёт движение в угольный электрод. В ходе химической реакции совершается работа А по переносу заряда q. Её целесообразно выразить через ЭДС:

Кроме того, по закону сохранения энергии работа расходуется на выделение тепла Q в нагрузке и в самом источнике:

Количество теплоты согласно закону Джоуля-Ленца для источника и нагрузки:

Q = I²• r • t, где r – сопротивление источника
и
Q = I²• R • t, где R – сопротивление нагрузки.

Выразим количество электричества (заряд) через силу тока:

Для вывода закона Ома продолжаем преобразования и получаем ЭДС для полной цепи:

ε • I • t = I²• r • t + I²• R • t
⇓
ε = I•r + I•R – из этого выражения выводится формула закона Ома для полной цепи:

Классическая формулировка закона Ома для полной цепи: сила тока полной цепи прямопропорциональна ЭДС источника и обратноспропорциональна полному сопротивлению цепи.

Обычно сопротивление источника значительно ниже сопротивления нагрузки: R ≫ r. В таких случаях ε ≈ U, а формула принимает вид уравнения закона Ома для участка цепи:

Примечательно, что изначально принятые Георгом Омом символы отличаются от используемых сегодня.

Закон Ома для переменного тока.

В случае токов, подчиняющихся гармоническому закону, нагрузка проявляет ряд особенностей. В реальной цепи наравне с активной (резистивной) нагрузкой в той или иной степени обязательно присутствуют ёмкость и индуктивность, создавая колебательный контур. Эти элементы представляют собой реактивную составляющую нагрузки, расчёт которой несколько сложнее.

Возьмем последовательную цепь из резистора, конденсатора и катушки в установившемся режиме, питающуюся от источника ЭДС с пренебрежимым сопротивлением (при этом e ≈ U), соединённую идеальными проводниками:

За основу векторной диаграммы возьмем ток, так как он одинаковый на всех элементах схемы. Напряжение на резисторе совпадает по направлению с током. В катушке появляется ЭДС индукции, противодействующая изменению напряжения, а в конденсаторе напряжение препятствует току, соответственно, фазы колебаний в них отличаются: в катушке напряжение опережает ток, в конденсаторе зависимость обратная:

где ω – радиальная частота, равняющаяся 2πf, т. е. 100π при 50 Гц.

Результирующее напряжение согласно параллелограмму сил:

Емкостное сопротивление обозначается X_С, а индуктивное X_L. Полное сопротивление обозначается Z и называется импедансом. Для простоты его называют сопротивлением, учитывающим частоту.

Выразим отсюда полное сопротивление, т. е. сопротивление, определяющее активно-реактивный характер нагрузки:

Имея все параметры рассматриваемой модели в установившемся режиме можно записать закон Ома для полной цепи переменного тока в установившемся режиме: