Что такое момент инерции в сопромате

Моменты инерции

Осевым моментом инерции площади сечения относительно оси, рассматривается, называется сумма (интеграл), который рассчитывается по всей площади сечения от произведения площади элементарной площадки на квадрат расстояния до оси, что рассматривается.

$ = \int\limits_A dA> $; $ = \int\limits_A dA> $ (см 4 )

Осевые моменты $$ и $$ всегда больше нуля, поскольку координата $x$ или $y$ возвышается до квадрата.

Примеры определения осевых моментов инерции

Для интегрирования выделим элементарную площадь в виде полосы $b \cdot dy$, для которой координата $y$ стала.

Для определения момента инерции относительно оси $X$ выбираем элементарную полоску длиной $b(y)$ и высотой $dy$. Тогда площадь элементарной полоски будет равна: $dA = b(y)dy$.

Из подобия двух треугольников можем записать:

$\frac> = \frac> \Rightarrow b(y) = \frac\left( \right) \Rightarrow $

Проводя ось $OX$ через основание треугольника мы не накладывали на его форму никаких условий. Таким образом, момент инерции любого треугольника относительно оси, приходящей через его основу будет равна $\frac>>>$.

Полярным моментом инерции площади сечения относительно данной точки (полюса) называется интеграл по всей площади сечения от произведения площади элементарной площадки на квадрат расстояния до полюса.

Другими словами: полярный момент инерции площади сечения относительно точки пересечения двух перпендикулярных осей (полюса) равна сумме осевых моментов инерции.

Определить величину $$ круга :

$dA = \rho d\rho d\varphi $

Центробежным моментом инерции площади сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей называется интеграл по площади сечения от произведения площади элементарной площадки на расстоянии от центра тяжести этой площадки до соответствующих осей.

Основные особенности центробежного момента инерции.

1. Основной особенностью $>$ является то, что он может быть положительным, отрицательным и равняться нулю.

2. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, носят название главных осей инерции .

3. Оси, проходящие через центр тяжести сечения, или, другими словами, в отношении которых одновременно центробежный момент инерции и статический момент площади сечения равны нулю, называются главными центральными осями инерции .

4. Главными центральными моментами инерции площади сечения называются моменты инерции относительно главных центральных осей.

5.1. Если сечение, рассматривается, имеет три и более осей симметрии, то любая центральная ось этого сечения является главной.

5.2. Центробежный момент инерции площади сечения рассчитывается относительно двух взаимно перпендикулярных осей, из которых одна является осью симметрии, будет равняться нулю.

Момент инерции фигуры относительно параллельной оси. Переносные моменты инерции

Пусть две взаимно перпендикулярные оси x и y проходят через центр тяжести C поперечного сечения стержня. Проведем другие оси координат и , параллельные осям x и y. Обозначим a и b координаты центра тяжести С в новых осях и (рис. 4.3, а).

Тогда формулы осевых и центробежных моментов инерции фигуры относительно параллельных осей и :

Первые слагаемые в формулах осевых и центробежных моментов инерции фигуры относительно параллельных осей названы собственными моментами инерции. Вторые (подчеркнутые) слагаемые называются переносными моментами инерции .

Отметим, что координаты a и b необходимо подставлять в формулы моментов инерции фигуры относительно параллельных осей с учетом их знаков, что является крайне важным для третьей из приведенных формул.

Момент инерции формулаМомент инерции фигуры относительно параллельной оси. Переносные моменты инерции

Сопромат — книги, лекции и решение задач по сопротивлению материалов © 2013 — 2024

Момент инерции сечения

Начнем с моментов инерции простых фигур и на их примере выясним для сложных фигур и составных сечений из стандартных профилей.

Начать объяснение о том, что такое моменты инерции нужно с того, что спросить, а что такое площадь?

Обычная площадь квартиры, огорода сечения стержня? Зачем она и почему?

Так вот площадь это характеристика которую придумали и вывели для разных фигур, чтобы была возможность сравнивать земельные наделы. Не всегда они были прямоугольные или квадратные. А сравнить кто сколько получил в надел было нужно. Вот и вывели такую закономерность для прямоугольника, что если перемножить стороны — получим величину, которую можно будет сравнить с перемноженной высотой на основание деленное пополам для треугольника или для круга Пи умножить на эр в квадрате )). Т.е. площади простых фигур

Что касается моментов инерции в сопротивлении материалов, то тут они появились, когда стало понятно, что есть какая то геометрически измеримая величина для разных форм сечения, которая позволит сравнить сопротивляемость этих сечений изгибу.

Момент инерции это мера сопротивляемости сечения балки изгибу. Чем больше момент инерции тем труднее балку изогнуть. Это очень упрощенное определение, но отображающее суть момента инерции.

Проще говоря бревно, которое выполняет роль балки и изгибается может иметь форму прямоугольника, квадрата или круга, а нам нужно сравнить их сопротивляемость изгибу. Вот для этих целей выводили формулу напряжений и оказалось, что в числителе оказался изгибающий момент, а в знаменателе момент инерции:

Вывод моментов инерции для простых фигур

Так вот ниже я приведу видео уроки, плейлист, в котором один за одним выведены моменты инерции для простых фигур, а именно для прямоугольника, треугольника и круга. А затем приводится стандартный расчет моментов инерции для более сложной фигуры, которая состоит из нескольких простых. Всегда сложную фигуру можно разбить на несколько простых. Исходя из этого расчет и ведется.

В чем измеряется момент инерции плоской фигуры

Моменты инерции измеряются в единицах длины в 4 степени, т.е. см⁴ или м⁴. Чаще всего используется см⁴, т.к. такие единицы измерения приведены в сортаменте прокатной стали.

Что такое момент инерции вообще

Момент инерции, это величина, которая показывает сопротивляемость сечения изгибу. На примере линейки хорошо понятно что изгиб в одной плоскости и изгиб в другой плоскости будут сильно отличаться, хотя площадь сечения не меняется. Вот это и было выведено в формуле для напряжений и для прогибов. Что величина, которая сопротивляется изгибающему моменту есть интеграл до координаты центра тяжести площадки в квадрате на площадь элементарной площадки.

Что такое центральные оси

Центральными осями называют оси, которые проходят через центр тяжести сечения

Что такое главные оси

Главные оси располагаются в сечении таким образом, что центробежный момент относительно них равен нулю. Т.е. это максимальный и минимальный осевые моменты инерции

Главные центральные оси, что это такое

Оси, которые проходят через центр тяжести сечения и центробежный момент инерции относительно них равен нулю. При этом данные осевые моменты инерции являются экстремальными, т.е. имеют максимальное и минимальное значение. Именно относительно этих осей ведут расчет и к ним приводят нагрузки. Т.е. если какое нибудь внешнее усилие проходит в стороне от главных центральных осей. Это усилие переносят соблюдая правила переноса к главным центральным осям. Только после этого рассматривают действие сил и находят внутренние усилия относительно главных центральных осей инерции.

Что такое центробежный момент инерции

При вычислении моментов инерции осевых, при переходе от одних осей к другим появляется центробежный момент инерции, как составляющая пары осевых моментов инерции. И только для главных осей центробежные моменты инерции равны нулю. Именно эти оси мы и отыскиваем в наших расчетах. Поэтому мы ищем величину центробежного момента инерции для не главных осей и из свойства, что главные центральные оси это такие оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, находим положение главных центральных осей.

Моменты инерции для прямоугольника

#Сопромат, Моменты инерции. Прямоугольник. Вывод моментов инерции для прямоугольника.

Сопротивление материалов и Моменты инерции для прямоугольника. Понятие моментов инерции, формулы и вывод для прямоугольника. Осевые центробежный моменты инерции. для треугольника вывод моментов инерции в этом видео: https://www.youtube.com/embed/_pixohVoc-4?vq=hd720 Тема моментов инерции возникла в связи стем, что для определения напряжений при изгибе понадобилась геометрическая характеристика, которая сопротивляется внутреннему усилию (изгибающему моменту). В результате вывода формулы напряжений и появилась эта формула, выраженная через интеграл от квадрата координаты помноженной на площадь элементарной площадки. Эту геометрическую характеристику и назвали моментом инерции. пройти полный курс обучения сопромату и строймеху онлайн, по скайпу. Задать вопросы можно: — через сайт: https://stroymex.online — skype: zabolotnyiAN — email: zabolotnyiAN@gmail.com — комменты к видео — Телеграм https://t.me/AleksanderCrafts Телеграм канал: https://t.me/sroymexOnline Не тратьте время зря, задавайте вопросы. Узнайте стоимость обучения: https://stroymex.online/usloviya-i-tsena-onlayn-obucheniya-sopromat-i-stroymeh Получите первую консультацию бесплатно! Facebook: https://www.facebook.com/SopromatOnline

2018-04-09

Моменты инерции для треугольника

Сопротивление материалов, Моменты инерции для треугольника. Сопромат вывод моментов инерции

Сопротивление материалов и Моменты инерции для треугольника. Сопромат вывод моментов инерции для простых фигур. Моменты инерции для треугольника. Моменты инерции для осей в треугольнике, которые проходят через основные размеры. Вывод и пояснение к этой теме сопротивления материалов. для прямоугольника вывод моментов инерции в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=v1TE1UW_sRE&feature=youtu.be‎ Тема моментов инерции возникла в связи стем, что для определения напряжений при изгибе понадобилась геометрическая характеристика, которая сопротивляется внутреннему усилию (изгибающему моменту). В результате вывода формулы напряжений и появилась эта формула, выраженная через интеграл от квадрата координаты помноженной на площадь элементарной площадки. Эту геометрическую характеристику и назвали моментом инерции. пройти полный курс обучения сопромату и строймеху онлайн, по скайпу Задать вопросы можно: — через сайт: https://stroymex.online — skype: zabolotnyiAN — email: zabolotnyiAN@gmail.com — комменты к видео — Телеграм https://t.me/AleksanderCrafts Телеграм канал: https://t.me/sroymexOnline Не тратьте время зря, задавайте вопросы. Узнайте стоимость обучения: https://stroymex.online/usloviya-i-tsena-onlayn-obucheniya-sopromat-i-stroymeh Получите первую консультацию бесплатно! Facebook: https://www.facebook.com/SopromatOnline

2018-04-09

Момент инерции круга. Моменты инерции простых фигур. #сопромат

Вывод моментов инерции для круга. Видео урок из темы «Моменты инерции простых фигур». В видео приведен вывод момента инерции полярного, в полярной системе координат Ip Затем выведены моменты инерции осевые Iz, Iy. Задать вопросы можно: — через сайт: https://stroymex.online — skype: zabolotnyiAN — email: zabolotnyiAN@gmail.com — комменты к видео — Телеграм https://t.me/AleksanderCrafts Телеграм канал: https://t.me/sroymexOnline Не тратьте время зря, задавайте вопросы. Узнайте стоимость обучения: https://stroymex.online/usloviya-i-tsena-onlayn-obucheniya-sopromat-i-stroymeh Получите первую консультацию бесплатно! Facebook: https://www.facebook.com/SopromatOnline

2019-09-14

Моменты инерции. Оси центральные и главные. Что это и где. #сопромат

Центральные оси — любая пара взаимно перпендикулярных осей, которые проходят через центр тяжести фигуры Главные оси — оси для которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты имеют максимум и минимум. Об этом и многом другом в видео уроке по моментам инерции в сопротивлении материалов Задать вопросы можно: — через сайт: https://stroymex.online — skype: zabolotnyiAN — email: zabolotnyiAN@gmail.com — комменты к видео — Телеграм https://t.me/AleksanderCrafts Телеграм канал: https://t.me/sroymexOnline Не тратьте время зря, задавайте вопросы. Узнайте стоимость обучения: https://stroymex.online/usloviya-i-tsena-onlayn-obucheniya-sopromat-i-stroymeh Получите первую консультацию бесплатно! Facebook: https://www.facebook.com/SopromatOnline

2019-09-14

Примеры расчетов моментов инерции для сечений

Ниже приводятся примеры расчетов моментов инерции относительно главных центральных осей, объяснение, что такое центробежный момент инерции и почему оси называются главными центральными для примеров:

• простейшие фигуры — прямоугольник, треугольник
• составные сечения из простейших треугольника и прямоугольника
• составные из прокатных профилей

Пример расчета моментов инерции относительно главных центральных осей для простейших фигур

Подробно объясняется как найти центробежный момент инерции, как найти осевые моменты инерции, как относительно центральных и как относительно главных осей для простых фигур.

Пример расчета моментов инерции для сечения состоящего из прямоугольника и треугольника

Сечения балок может быть составным, т.е. таким, которое складывается из нескольких фигур. В примере, в видеоуроке ниже рассказыватся как найти моменты инерции относительно главных центральных осей для такого сечения балки

Расчет моментов инерции сечения составного из стандартных прокатных профилей

В видеоуроке ниже разбирается порядок расчета моментов инерции относительно главных центральных осей для сечения составленого из трех прокатных профилей уголков

Моменты инерции сечений относительно смещенных осей

Моменты инерции плоских сечений и фигур относительно смещенных осей рассчитываются по формулам:

Здесь:
I_x, I_y — осевые моменты инерции фигур;
a, b — смещение осей вдоль y и x;
A — площадь сечения фигур.

Рассмотрим плоское сечение произвольной формы площадью A.

Выделим в нем элементарную площадку dA с координатами x и y относительно системы координат проходящей через центр тяжести сечения O:

Покажем новую систему координат, y₁O₁x₁, отстоящую от осей x и y первой системы на a и b соответственно

Новое положение элементарной площадки после смещения осей:

Осевые моменты инерции относительно смещенных осей x₁ и y₁.