Постоянная времени нагрева.
Физический смысл — это время в течении которого ЭД успевает нагреться от температуры окружающей среды, т.е. от , до при условии отсутствия теплоотдачи в окружающую среду. Докажем это.
Если мы в уравнении (103) условно примем , то
Уравнение (107) решим относительно времени. за которое при этих условиях двигатель нагреется от до .
Учитывая, что получим, что .
Таким образом доказали, что физический смысл постоянной времени нагрева соответствует записанному определению нагреву. Для определения постоянной времени нагрева можно использовать решение уравнения теплового баланса в виде:
Примем в уравнении (108) , тогда:
Поэтому для определения постоянной времени нагрева необходимо экспериментально, построить график .
Однако на практике значительно чаще приходиться иметь дело с другими постановками задачи для того чтобы, кривую нагрева, необходимо знать постоянную времени нагрева. Как уже было сказано теплоотдача двигателя. пропорциональна площади его поверхности т.е. 2-й степени габаритов двигателя, а теплоёмкость пропорциональна объему двигателя ,т.е. 3-й степени габаритов 1-й степени габаритов двигателя и определение номинальной мощности двигателя малой мощности (до 100кВт) открытого исполнения постоянной времени нагрева находиться в пределах 1 минуты 1 часа. У двигателей большой мощности закрытого исполнения постоянная времени нагрева может соответствовать нескольким часам, примерная номограмма зависимости при имеет следующий вид:
Необходимо отметить также, что длительность переходного режима при изменении температуры двигателя зависит от нагрузки на валу двигателя ( — механической мощности), чем больше нагрузка, тем двигатель нагревается быстрее. Однако при этом будет изменяться величина установившейся температуры. Зависимость от нагрузки на валу можно просмотреть с помощью тепловых диаграмм одного и того же двигателя при различной величине механической нагрузки на его валу.
Постоянная времени нагрева и методы ее определения
Из уравнений, определяющих закон изменения температуры электродвигателя, следует, что основной величиной, характеризующей процесс нагревания, является постоянная времени нагрева.
Постоянная времени нагрева зависит от конструкции и размеров двигателя. Ее величина для двигателей защищенных, небольшой мощности, лежит в пределах 10-20 мин., а для крупных закрытых электродвигателей она достигает нескольких часов.
Выражение постоянной времени нагрева ТН=С/А показывает, что ее значение зависит также и от условий вентиляции машины.
Естественно, что у электродвигателей, имеющих более интенсивный отход тепла, постоянная времени нагрева меньше. Следует иметь в виду, что уменьшение скорости вращения вызывает увеличение постоянной времени нагрева, так как при этом ухудшаются условия вентиляции. Так постоянная времени нагрева у двигателей с самовентиляцией в неподвижном состоянии достигает четырехкратного значения постоянной нагрева при вращении.
Аналитическое определение постоянной времени нагрева очень сложно и недостаточно точно. Поэтому её, как правило, определяют, пользуясь экспериментальными данными, в частности, из кривой зависимости превышения температуры от времени и установившегося значения температуры перегрева двигателя при номинальной нагрузке.
а) Определение Тн , исходя из её физического смысла.
Постоянную времени нагрева можно представить как время, в течение которого превышение температуры машины, достигнет установившегося значения при отсутствии отдачи тепла в окружающую среду, т.е. при А=0.
Уравнение теплового баланса (1) при этом будет иметь вид:
Рассматривая случай, когда при t = 0, , после интегрирования получим: , (10)
Подставляя значение установившейся температуры в равенство (10), получим:
В реальных условиях при наличии теплоотдачи, температура двигателя за время поднимется до значения, несколько меньшего .
Величина этой температуры определится, если в уравнении (6) принять . При этом получим:
Величиной 0,632 можно воспользоваться для определения постоянной времени нагрева при наличии опытной кривой .
На кривой находится точка , из которой опускается перпендикуляр на ось абсцисс; отрезок времени, заключенный между началом координат и перпендикуляром, будет равняться постоянной времени нагрева. Определение Тн данным методом показано на рисунке 7.3.
б) Определение Тн с помощью касательной к кривой .
Отрезок прямой , отсекаемый касательной и вертикалью, проведенной в точке касания, дает величину постоянной времени нагрева.
Это легко доказывается, например, для касательной, проведенной из начала координат (рисунок 7.4). Для доказательства возьмем первую производную выражения (6) по времени:
Для t=0 , а ; тогда .
Из рисунка 7.4 видно, что , а , тогда
Определение Тн с помощью касательной справедливо для любой точки кривой , но так как экспериментальная кривая несколько отличается от теоретической, то практически при определении постоянной времени нагрева берут среднее значение Тн из трех: в начале процесса, при и .
в) Определение Тн интегральным методом.
В уравнении нагрева второй член правой части представляет собой для любого момента времени отрезок, заключенный между и кривой нагрева.
Если взять интеграл от этой величины в пределах от t=0 до t=t1, то получим площадь S заключенную между кривой нагрева, осью ординат, асимптотой и вертикалью ab (рисунок 7.5). Действительно
но так как , то будем иметь , откуда .
Следовательно, для определения постоянной времени нагрева интегральным способом необходимо измерить при соответствующем учете масштабов площадь S и ее числовое значение разделить на . Этот метод определения Тн более точен по сравнению с предыдущим.
Что характеризует постоянная времени нагрева?
Величина постоянной времени нагревания определяется как средне
арифметическое значение постоянных времени нагревания, полученных тремя методами.
Постоянная времени нагревания, мин обозначается термином Тн
Величина Тн характеризует скорость нагревания двигателя. Физический смысл постоянной времени нагревания можно выразить следующим образом. Если обратиться к выражению, то Тн можно представить как время, в течение которого двигатель достиг бы установившейся температуры tу, если бы отсутствовала отдача тепла в окружающую среду. В реальных условиях при наличии теплопередачи температура двигателя за время Тн повысится лишь до значения t = 0,632tу.
См: http://studopedia.ru/5_135295_opredelenie-postoyannoy-vremeni-nagrevaniya-i-ohlazhdeniya.html
Остальные ответы
Похожие вопросы
Постоянная времени — Time constant
В физике и инженерии, постоянная времени, обычно обозначаемый греческой буквой τ (тау), является параметром, характеризующим реакцию на ступенчатый ввод первого порядка, линейный, неизменный во времени ( LTI) система. Постоянная времени является основной единицей характеристики LTI-системы первого порядка.
Во временной области обычный выбор для изучения временной характеристики — это переход от переходной характеристики к ступенчатому входу или импульсной характеристики на вход дельта-функции Дирака. В частотной области (например, глядя на преобразование Фурье переходной характеристики или используя вход, который является простой синусоидальной функцией времени) постоянная времени также определяет полосу пропускания инвариантной во времени системы первого порядка, то есть частота, на которой мощность выходного сигнала падает до половины значения, которое она имеет на низких частотах.
Постоянная времени также используется для характеристики частотной характеристики различных систем обработки сигналов — магнитных лент, радиопередатчиков и приемники, оборудование для записи и воспроизведения, и цифровые фильтры, которые могут быть смоделированы или аппроксимированы системами LTI первого порядка. Другие примеры включают постоянную времени, используемую в системах управления для регуляторов интегрального и производного действия, которые часто пневматические, а не электрические.
Постоянные времени — это особенность анализа сосредоточенных систем (метод анализа сосредоточенной емкости) для тепловых систем, который используется, когда объекты равномерно охлаждают или нагреваются под влиянием конвективного охлаждения или нагревания.
Физически постоянная времени представляет собой время, необходимое для того, чтобы отклик системы упал до нуля, если бы система продолжала распадаться с начальной скоростью, из-за постепенного изменения скорости распада отклик фактически уменьшился. по значению до 1 / e ≈ 36,8% за это время (скажем, от ступенчатого уменьшения). В возрастающей системе постоянная времени — это время, за которое переходная характеристика системы достигает значения 1 — 1 / e ≈ 63,2% его окончательного (асимптотического) значения (скажем, от ступенчатого увеличения). При радиоактивном распаде постоянная времени связана с постоянной распада (λ) и представляет собой как среднее время жизни распадающейся системы (например, атома) до его распада, так и время, необходимое для всех, кроме 36,8 % атомов к распаду. По этой причине постоянная времени больше, чем период полураспада , который является временем распада только 50% атомов.
- 1 Дифференциальное уравнение
- 1.1 Пример решения
- 1.1.1 Обсуждение
- 1.1.2 Особые случаи
- 4.1 Постоянные времени в электрических цепях
- 4.2 Тепловая постоянная времени
- 4.3 Постоянные времени в неврологии
- 4.4 Экспоненциальный спад
- 4.5 Метеорологические датчики
Дифференциальное уравнение
LTI-системы первого порядка характеризуются дифференциальным уравнением
где τ представляет собой константу экспоненциального затухания, а V является функцией времени t
В правой части находится функция принуждения f (t), описывающая внешнюю движущую функцию времени, которую можно рассматривать как вход системы, для которой V (t) это ответ или вывод системы. Классическими примерами для f (t) являются:
the импульсная функция, часто обозначаемая δ (t), а также синусоидальная входная функция:
f (t) = A sin (2 π ft)
где A — амплитуда вынуждающей функции, f — частота в герцах, а ω = 2π f — частота в радианах в секунду.
Пример решения
Пример решения дифференциального уравнения с начальным значением V 0 и без функции принуждения:
— начальное значение V. Таким образом, ответ представляет собой экспоненциальный спад с постоянной времени τ.
Обсуждение
Такое поведение называется «убывающей» экспоненциальной функцией. Время τ (tau) упоминается как «постоянная времени» и может использоваться (как в этом случае), чтобы указать, насколько быстро затухает экспоненциальная функция.
t = время (обычно t>0 0> в системе управления) V0= начальное значение (см. «Особые случаи» ниже).
Конкретные случаи
1) Пусть t = 0 ; тогда V = V 0 e 0 e ^ > , и поэтому V = V 0 > 2) Пусть t = τ ; тогда V = V 0 e — 1 ≈ 0,37 V 0 e ^ \ приблизительно 0,37V_ > 3) Пусть V = е (t) = V 0 e — t τ <\ displaystyle V = f (t) = V_ e ^ >> , и поэтому lim t → ∞ е (t) = 0 f (t) = 0> 4) Пусть t = 5 τ ; тогда V = V 0 e — 5 ≈ 0,0067 V 0 e ^ \ приблизительно 0,0067V_ >
После периода, равного одной постоянной времени, функция n достигает e = примерно 37% от своего начального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от исходного. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция упала до нуля — как показывает опыт, в технике управления стабильная система — это система, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.
Связь постоянной времени с полосой пропускания
Пример реакции системы на функцию форсирования синусоидальной волны. Ось времени в единицах постоянной времени τ . Отклик затухает, превращаясь в простую синусоидальную волну. 
Амплитудно-частотная характеристика системы в зависимости от частоты в единицах ширины полосы f 3 дБ. Отклик нормализуется к нулевому значению частоты, равному единице, и падает до 1 / √2 в полосе пропускания.Предположим, что функция форсирования выбрана синусоидальной так:
(Ответ на ввод действительной косинусной или синусоидальной волны можно получить, взяв действительную или мнимая часть окончательного результата в силу формулы Эйлера.) Общее решение этого уравнения для времен t ≥ 0 с, предполагая V (t = 0) = V 0 :
В (т) знак равно В 0 е — t / τ + А е — t / τ τ ∫ 0 tdt ′ et ′ / τ ej ω t ′ e ^ < -t / \ tau>+ \ over \ tau> \ int _ ^ \, dt ‘\ e ^ e ^ > = V 0 e — t / τ + 1 / τ j ω + 1 / τ A (ej ω t — e — t / τ). <\ displaystyle = V_ e ^ + > A \ left (e ^ -e ^ \ right).>
В течение долгого времени убывающие экспоненты становятся незначительными и стационарное решение или долгосрочное решение:
Величина этого ответа это:
По соглашению, полоса пропускания этой системы — это частота, где | V ∞ | падает до половинного значения, или где ωτ = 1. Это обычное соглашение о полосе пропускания, определяемое как частотный диапазон, в котором мощность падает менее чем наполовину (не более -3 дБ). Использование частоты в герцах, а не в радианах / с (ω = 2πf):
Обозначение f 3dB происходит от выражения мощности в децибелах и наблюдение, что половинная мощность соответствует падению значения | V ∞ | на коэффициент 1 / √2 или на 3 децибела.
Таким образом, постоянная времени определяет полосу пропускания этой системы.
Переходная характеристика с произвольными начальными условиями
Переходная характеристика системы для двух различных начальных значений V 0, одно выше конечного значения, а другое — нулевое. Длительный отклик — это постоянная величина V ∞. Ось времени в единицах постоянной времени τ .
Предположим, что функция принуждения выбрана в качестве пошагового входа, поэтому:
с u (t) шагом Хевисайда функция. Общее решение этого уравнения для времен t ≥ 0 с при условии, что V (t = 0) = V 0 :
V (t) = V 0 e — t / τ + A τ ( 1 — е — t / τ). e ^ + A \ tau \ left (1-e ^ \ right).>
(Может Следует отметить, что этот отклик является пределом ω → 0 указанного выше отклика на синусоидальный вход.)
Решение для длительного времени не зависит от времени и от начальных условий:
Постоянная времени остается неизменной для той же системы независимо от начальных условий. Проще говоря, система приближается к своей конечной устойчивой ситуации с постоянной скоростью, независимо от того, насколько она близка к этому значению в любой произвольной начальной точке.
Например, рассмотрим электродвигатель, запуск которого хорошо моделируется системой LTI первого порядка. Предположим, что при запуске из состояния покоя двигателю требуется секунды, чтобы достичь 63% его номинальной скорости 100 об / мин, или 63 об / мин, то есть меньше 37 об / мин. Затем будет обнаружено, что после следующих секунды двигатель ускорился еще на 23 об / мин, что составляет 63% от этой разницы в 37 об / мин. Это доводит его до 86 об / мин, что все еще составляет 14 об / мин. Через треть ⅛ секунды двигатель наберет дополнительные 9 оборотов в минуту (63% от этой разницы в 14 оборотов в минуту), установив его на 95 оборотов в минуту.
Фактически, при любой начальной скорости с ≤ 100 об / мин, через ⅛ секунды этот конкретный двигатель получит дополнительные 0,63 × (100 — с ) Об / мин.
Примеры
Постоянные времени в электрических цепях
Отклик на скачок напряжения конденсатора. Отклик на скачок напряжения на индукторе.
В цепи RL составлен для одного резистора и катушки индуктивности постоянная времени τ (в секундах ) равна
Аналогично, в RC-цепи, состоящей из одного резистора и конденсатора, постоянная времени τ (в секундах) равна :
где R — сопротивление (в Ом ), а C — емкость (в фарадах ).
Электрические цепи часто более сложны, чем эти примеры, и могут иметь несколько постоянных времени (см. Переходная характеристика и Разделение полюсов для некоторых примеров.) В случае, когда обратная связь присутствует, система может показывать нестабильные, увеличивающиеся колебания. Вдобавок физические электрические цепи редко являются действительно линейными системами, за исключением возбуждений с очень низкой амплитудой; однако широко используется приближение линейности.
В цифровых электронных схемах часто используется другая мера, FO4. Это можно преобразовать в единицы постоянной времени с помощью уравнения 5 τ = FO4 >> .
Тепловая постоянная времени
Постоянные времени — это характеристика анализа сосредоточенных систем (метод анализа сосредоточенной емкости) для тепловых систем, используемых, когда объекты равномерно охлаждаются или нагреваются под влиянием конвективного охлаждения или нагревания. В этом случае передача тепла от тела к окружающей среде в данный момент времени пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой:
, где h — коэффициент теплопередачи, а A s — площадь поверхности, T (t) = температура тела в момент времени t, а T a — постоянная температура окружающей среды. Положительный знак указывает на то, что F является положительным, когда тепло выходит из тела, потому что его температура выше, чем температура окружающей среды (F — поток наружу). Если тепло теряется в окружающую среду, эта теплопередача приводит к падению температуры тела, определяемой по формуле:
где ρ = плотность, c p= удельная теплоемкость, а V — объем тела. Отрицательный знак указывает на падение температуры при передаче тепла наружу от тела (то есть, когда F>0). Приравнивая эти два выражения для теплопередачи,
ρ c p V d T d t = — h A s (T (t) — T a). V > = — hA_ \ left (T (t) -T_ \ right).>
Очевидно, это система LTI первого порядка, которая может быть представлена в виде:
Другими словами, постоянная времени говорит, что большие массы ρV и большая теплоемкость c p приводят к более медленным изменениям температуры, в то время как большие площади поверхности A s и лучшая теплопередача h приводят к более быстрым изменениям температуры.
Сравнение с вводным дифференциальным уравнением предлагает возможное обобщение для изменяющихся во времени температур окружающей среды T a. Однако, сохраняя простой пример окружающего константы, подставляя переменную ΔT ≡ (T — T a), получаем:
Системы, для которых охлаждение удовлетворяет вышеуказанному экспоненциальному уравнению, говорят, что удовлетворяют Закон охлаждения Ньютона. Решение этого уравнения предполагает, что в таких системах разница между температурой системы и ее окружения ΔT как функция времени t определяется как:
, где ΔT 0 — начальная разница температур в момент времени t = 0. На словах, тело принимает ту же температуру, что и окружающая среда, с экспоненциально медленной скоростью, определяемой постоянной времени.
Постоянные времени в неврологии
В возбудимой клетке, такой как мышца или нейрон, постоянная времени мембранного потенциала τ равно
, где r m — это сопротивление через мембрану, а c m — емкость мембраны.
Сопротивление через мембрану является функцией количества открытых ионных каналов, а емкость — функцией свойств липидного бислоя.
Постоянная времени равна используется для описания роста и падения мембранного напряжения, где рост описывается как
и падение описывается как
где напряжение в милливольтах, время в секундах, а τ в секундах.
Vmax определяется как максимальное изменение напряжения от потенциала покоя, где
, где r m — сопротивление через мембрану, а I — ток через мембрану.
Настройка для t = τ для увеличения задает V (t) равным 0,63V max. Это означает, что постоянная времени — это время, прошедшее после достижения 63% от V max
Установка для t = τ для падения устанавливает V (t) равным 0,37 В макс, что означает, что постоянная времени — это время, прошедшее после того, как оно упало до 37% от V макс.
Чем больше время константа, тем медленнее растет или падает потенциал нейрона. Длительная постоянная времени может привести к временному суммированию или алгебраическому суммированию повторяющихся потенциалов. Короткая постоянная времени дает скорее детектор совпадений через пространственное суммирование.
Экспоненциальный распад
В экспоненциальном распаде, например, радиоактивного изотоп, постоянная времени может интерпретироваться как среднее время жизни. период полураспада THLсвязан с экспоненциальной постоянной времени τ на
THL = τ ⋅ ln 2. = \ tau \ cdot \ mathrm \, 2.>
Величина, обратная постоянной времени, называется постоянной распада и обозначается λ = 1 / τ.
Метеорологические датчики
A постоянная времени — это количество времени, которое требуется метеорологическому датчику, чтобы отреагировать на быстрое изменение измеряемой величины, пока он не начнет измерять значения. в пределах допуска точности, обычно ожидаемого от датчика.
Это чаще всего применяется к измерениям температуры, температуры точки росы, влажности и давления воздуха. Радиозонды особенно страдают из-за их быстрого увеличения высоты.
См. Также
- Постоянная времени RC
- Частота отсечки
- Экспоненциальное затухание
- Компенсатор запаздывания
- Константа длины
- Время нарастания
- Время спада
- Частота отклик
- Импульсный отклик
- Переходный отклик
- Время перехода
- Время установления
Примечания
Ссылки
Внешние ссылки
На Викискладе есть материалы, связанные с Постоянная времени . - Преобразование постоянной времени τ в частоту отсечки fc и наоборот
- Все о схемах — расчет напряжения и тока
- Энергетическая и тепловая постоянная времени зданий
- 1.1 Пример решения