Метод вспомогательных сфер начертательная геометрия
Перейти к содержимому

Метод вспомогательных сфер начертательная геометрия

  • автор:

Построение линии пересечения поверхностей с помощью семейства вспомогательных сферических поверхностей

Для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения целесообразно воспользоваться одним свойством, присущим поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей (рис. 226).

В частном случае, если одна из поверхностей вращения — сфера, приведенное выше предложение может быть сформулировано иначе: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных меридианов поверхностей (рис. 227).

Если ось поверхности вращения перпендикулярна плоскости проекции π1 (или π2 ), то окружности проецируются на плоскость π1 (или π2) без искажения, а на плоскость π2 (или π1) в отрезки прямых, перпендикулярных фронтальной (горизонтальной) проекции оси вращения (см. рис. 226).

Поверхность сферы может пересекаться по окружности не только с соосной поверхностью вращения, но и с любой другой поверхностью, имеющей семейство окружностей, например, с циклической поверхностью, конической поверхностью второго порядка, имеющей в основании окружность, и др.

Рис 226-227.Построение линии пересечения поверхностей с помощью семейства вспомогательных сферических поверхностей

Построить линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:

1) способом концентрических сфер;

2) способом эксцентрических сфер.

Особенности каждого из этих способов и условия его применения проследим на конкретных примерах.

1. Способ концентрических сфер.

Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость, определяемая осями поверхностей вращения, была параллельной какой-либо плоскости проекции.

ПРИМЕР 1. Построить линию пересечении двух конических поверхностей вращения с пересекающимися осями (рис. 228).

Сфера, проведенная из точки О» пересечения фронтальных проекций осей поверхностей вращения, пересечет поверхность α по окружности, которая проецируется на плоскость π2 в отрезок [1″2″], а поверхность β — по окружности, проецирующейся на π2 в отрезок [ 3″4″]. На горизонтальную плоскость проекции эта окружность спроецируетсн без искажения в окружность радиуса |О»1, 3″|, проведенную из центра в точке О’.

Пересечение отрезков [1″2″] и [3″4″] укажет фронтальные проекции двух точек L»1 и L»2(L»1 ≡ L2«), принадлежащих линии пересечения поверхностей α и β. Величина радиуса вспомогательных сфер для определения линии l1 изменяется в пределах от Rmin = |0″M»| дo Rmax = |0″В»| (точка М» определяется как точка касания окружности, проведенной к главному меридиану поверхности β из центра О»). Для определения точек линии l2 Rmax = |0″С»|, Rmin = |0″М»|. На рис. 228 показано определение точек N»1 и N»2, принадлежащих линии l2. Горизонтальная проекция линии пересечения может быть найдена из условия ее принадлежности поверхности β. Для ее построения необходимо через фронтальные проекции точек кривых l»1 и l»2 провести горизонтальные прямые — фронтальные проекции параллелей поверхности β, а из точки O’ — окружности — горизонтальные проекции параллелей, на которых с помощью линий связи можно определить горизонтальные проекции точек, принадлежащих кривым l’1 и l’2 Особые точки A, В, C, D определяются пересечением главных меридианов поверхностей α и β. Они же являются высшими (точки A и С) и низшими (точки В и D) точками линии пересечения поверхностей. Границы видимости линии на горизонтальной плоскости проекции определяются точками, принадлежащими горизонтальному очерку поверхности α ( точки Е’1 и E’2 для линии l2 и F’1 и F’2 для линии l1 ] ).

ПРИМЕР 2. Построить линию пересечения поверхности вращения а произвольного вида с поверхностью прямого кругового цилиндра β. Оси поверхностей пересекаются (рис. 229) .

1. Определяем центр вспомогательных сфер — точку пересечения осей поверхностей вращения О = i1 ∩ i2 .

2. Находим проекции опорных точек, принадлежащие линии пересечения l (А», В», С», D»). Так как эти точки принадлежат плоскости главных меридианов поверхностей, которая параллельна плоскости π2, то эти точки определяются пересечением фронтальных проекций главных меридианов поверхностей.

Рис 228.Построение линии пересечения поверхностей с помощью семейства вспомогательных сферических поверхностей

3. Для определения произвольных (промежуточных) точек линии пересечения из точки О» проводим семейство концентрических окружностей, являющихся фронтальными проекциями вспо-могательных сфер.

Рис 229.Построение линии пересечения поверхностей с помощью семейства вспомогательных сферических поверхностей

Радиус максимальной сферы равен расстоянию от фронтальной проекции центра сферы О» до наиболее удаленной проекции точки, принадлежащей линии пересечения — точки D». Величина минимального радиуса вспомогательной секущей сферы равна радиусу окружности, касающейся цилиндра β». На рис. 229 показано построение точек К, К1 и L, L1 с помощью вспомогательной сферы γj.

Горизонтальные проекции точек линии пересечения строятся при помощи параллелей поверхности вращения α, которые проецируются на плоскость π1 без искажения.

ПРИМЕР 3. Построить линию пересечения поверхности тора α и сферы β, оси которых определяют плоскость, параллельную фронтальной плоскости проекции (рис. 230) .

Так как осью сферической поверхности может быть любая прямая, проходящая через центр этой поверхности, то за центр вспомогательных сферических поверхностей можно принять произвольную точку на оси поверхности вращения α. Поэтому графическое решение задачи по определению линии пересечения заданных поверхностей сводится к выполнению следующих геометрических построений :

1. Принимаем точку О» за центр окружностей — фронтальных проекций вспомогательных секущих сфер.

2. Проводим фронтальную проекцию вспомогательной сферической поверхности γj.

3. Определяем отрезки [ 1″2″] и [ 3″4″ ] — фронтальные проекции окружностей, по которым γj∩ α и γj ∩ β.

4. Точки пересечения окружностей (отрезков [1″2″] и [3″4″] ) M»1 и М»2 принадлежат искомой линии пересечения.

5. Фронтальные проекции опорных точек А» и В» определяются пересечением фронтальных проекций меридианов поверхностей α и β.

6. Горизонтальные проекции линии пересечения определяются с помощью параллелей поверхности β.

2. Способ эксцентрических сфер.

Способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность должна иметь семейство окружностей. Как и в способе концентрических сфер, плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекции. Сущность способа легко уяснить из следующих примеров.

ПРИМЕР 1. Построить линию пересечения поверхности кольца (открытого тора) а с поверхностью вращения β, имеющих общую плоскость симметрии (рис. 231).

Хотя мы и имеем дело с поверхностями вращения, но применить здесь способ концентрических сфер не представляется возможным, так как оси поверхностей не пересекаются.

Возможность использования способа эксцентрических сфер обусловливается тем, что обе поверхности несут на себе семейства окружностей, по которым они могут пересекаться эксцентрическими сферами, причем на кольцевой поверхности имеется несколько семейств окружностей, в том числе и окружностей, принадлежащих пучку плоскостей, ось которого совпадает с осью кольца.

Решение задачи сводится к следующим графическим построениям:

1. Рассечем кольцевую поверхность фронтально проецирующей плоскостью ε, проходящей через ось кольца; эта плос кость пересечет кольцевую поверхность по окружности, фронтальная проекция которой — отрезок [1″2″]. Эта же окружность может быть получена, если кольцевую поверхность пересекать семейством эксцентрических сфер, центры которых расположены на перпендикуляре, проведенном через центр окружности к плоскости ε.

Для того чтобы вспомогательная сфера пересекала по окружности и поверхность вращения β, необходимо, чтобы ее центр принадлежал оси этой поверхности. Поэтому за центр вспомогательной сферы следует брать точку О 1 пересечения упомянутого перпендикуляра с осью поверхности β. В этом случае сфера, радиус которой равен расстоянию от точки O1 до точки 1, пересекает обе поверхности по окружностям. Окружность с, по которой сфера пересекает поверхность β, является параллелью поверхности β; эта параллель проецируется на плоскость в отрезок [3″4″]. Окружности 1″, 2″ и 3″, 4″ пересекаются в точках L»1 и L»2 (L»1 ≡ L»2). Аналогично строятся и другие произвольные точки, принадлежащие искомой линии пересечения поверхностей α и β.

Фронтальные проекции опорных точек А» и В» определяются пересечением фронтальных проекций главных меридианов поверхностей α и β. Горизонтальные проекции (на рис. 231 не показаны) могут быть построены с помощью параллелей поверхности β так же, как это было сделано в примере 2.

Способ эксцентрических сфер можно применять и в тех случаях, когда одна из пересекающихся поверхностей не является поверхностью вращения. Необходимым условием является наличие на этой поверхности семейства окружностей, которые можно рассматривать как результат пересечения поверхности со сферой. В число условий входит также условие, чтобы перпендикуляры, восставленные из центров круговых сечений, пересекали ось поверхности вращения.

Задача, помещенная в следующем примере, иллюстрирует возможность использования эксцентрических сфер для построения линии пересечения двух поверхностей, когда одна из них не является поверхностью вращения.

ПРИМЕР 2. Построить линию пересечения поверхности вращения α с конической поверхностью второго порядка β, имеющей в основании окружность (рис. 232).

Рис 230.Построение линии пересечения поверхностей с помощью семейства вспомогательных сферических поверхностей Рис 231.Построение линии пересечения поверхностей с помощью семейства вспомогательных сферических поверхностей Рис 232.Построение линии пересечения поверхностей с помощью семейства вспомогательных сферических поверхностей

1. Выделим на конической поверхности β круговое сечение. Для этого пересечем поверхность β фронтально проецирующей плоскостью, параллельной основанию конуса. Эта плоскость пересечет коническую поверхность по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекции в виде отрезка [1″2″].

Перпендикуляр, восставленный из центра этой окружности к ее плоскости, пересечет ось поверхности вращения в точке O1, которую принимаем за центр вспомогательной секущей сферы γj. Центр другой эксцентрической сферы γj можно определить аналогично рассмотренному случаю. Построения начинаем с проведения прямой (3″4″), параллельной прямой (1 «2»); из точки 5″ (середины отрезка [3″4″]) восставляем перпендикуляр к отрезку [3″4″] и определяем точку О2 пересечения его с осью поверхности вращения α.

3. Сферы, проведенные из центров О1 и O2 радиусами, соответственно равными | О»11″| и | O»23″|, пересекают по окружностям не только поверхность β, но и поверхность вращения α. Отрезки [6″, 7″] и [8″, 9″] являются фронтальными проекциями этих окружностей. Пересечения отрезков [ 1″,2″] и [ 6″,7″], [3″, 4″] и [8″, 9″] укажут точки M», М»1 и N», N»1, принадлежащие линии пересечения поверхностей α и β.

Фронтальные проекции опорных точек А» и В» определяются пересечением фронтальных проекций главных меридианов поверхностей α и β. Горизонтальные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, определяются известным способом (см. пример 1, рис. 228).

Применение вспомогательных секущих сфер

Рассмотренное в § 63 пересечение поверхностей вращения со сферой лежит в основе применения сфер в качестве вспомогательных поверхностей при построении линии пересечения одной поверхности другою.

На рис. 409 даны две поверхности вращения с пересекающимися осями и, следовательно, с общей плоскостью симметрии, параллельной пл. π2. Из точки пересечения осей можно провести ряд сфер. Положим, проведена сфера, обозначенная на рис. 409 Сф.1. Эта сфера пересекается по окружностям с каждой из поверхностей; в пересечении окружностей получаются точки, общие для обеих поверхностей и,

Рис 409-410.Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою

следовательно, принадлежащие линии пересечения. Как видно из рисунка, построение весьма упрощается вследствие того, что плоскость симметрии, общая для данных поверхностей, параллельна плоскости проекций (в данном случае пл. π2): окружности, по которым сфера пересекает одновременно две поверхности, проецируются на пл. π2 в виде прямолинейных отрезков. Кроме того, проекция линии пересечения строится без помощи других проекций поверхностей.

Конечно, проводится несколько сфер, чтобы получить достаточно точек для проведения искомой проекции линии пересечения. На рис. 409 показана еще одна сфера — Сф.2; она лишь касается поверхности с криволинейной образующей и дает на рассматриваемой проекции точку 2″, «последнюю» для фронтальной проекции: сферы меньшего диаметра не дадут точек для искомой линии.

Теперь остается провести через точки А», 1″, 2″, 1″1 и В» кривую — фронтальную проекцию линии соединения обеих поверхностей (рассматривая их как одно целое).

Как видно, все построение выполнено лишь на .одной проекции.

Итак, если надо построить линию пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются, то можно применять вспомогательные секущие сферы с центром в точке пересечения осей поверхностей.

На рис. 410 дан другой пример применения сфер в построении, аналогичном показанному на рис. 409. На этот раз лишь одна из них — поверхность вращения, другая же — наклонный круговой конус (см. § 50); он имеет ряд круговых параллельных между собой сечений.

Каждое такое сечение может быть принято за параллель сферы, центр которой берется на оси поверхности цилиндра. Например, взяв параллель с центром 01 (проекция O»1 ), проведем через О1 перпендикуляр к плоскости параллели до пересечения с осью цилиндра. Точка С1 (проекция С»1 ) принимается за центр сферы, пересекающей каждую из поверхностей по окружностям — поверхность конуса по взятой параллели с центром О1 поверхность цилиндра по окружности, получаемой при ее «надвигации» на сферу. В результате на рассматриваемой проекции (фрон

тальной) получается точка 1″, принадлежащая проекции искомой линии пересечения. Аналогично может быть найден центр С2 (проекция С»2) для проведения сферы по выбранной параллели с центром в точке O2 (проекция O»2). Дальнейшее ясно из чертежа.

Рис 411.Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою

Итак, вспомогательные сферы можно применять и в случаях пересечения поверхности вращения с поверхностью, имеющей параллельные между собой круговые сечения, центры которых лежат на одной линии, пересекающей ось поверхности вращения.

На рис. 411 показано построение линии соединения поверхности цилиндра вращения и сферы (образующая АВ цилиндра касается сферы в точке В). Эти поверхности имеют общую для них плоскость симметрии, параллельную пл. π2. Центр одной вспомогательной сферы (Сф.1) взят в точке с фронтальной проекцией С»1. Радиус этой сферы взят равным отрезку С»11″1 (в данном случае это наименьший радиус для вспомогательных сфер); он является и радиусом окружности, по которой происходит касание вспомогательной Сф.1 споверхностью , цилиндра. Эта сфера пересекает заданную сферу радиуса R по окружности с диаметров 1″21″3. В пересечении прямых 1″21″3 и С»11″1 получается точка 1″ — одна из точек, принадлежащих проекции искомой линии соединения поверхностей цилиндра и сферы.

Рис 412.Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою

Вторая вспомогательная сфера (Сф.2) проведена из точки, также взятой на оси цилиндра (проекция С»2). Эта сфера дает точку 2″.

Получив еще несколько точек между крайними точками В» и С», можно провести фронтальную проекцию искомой линии. В точке 1″, полученной при помощи «предельной» сферы (вписанной в цилиндр), прямая 1″21″3 является касательной и кривой В»1″2″С».

На рис. 412 показано пересечение двух когусов — вращения. Их оси в своем пересечении образуют общую для этих конусов ную пл. π2.

В данном случае применены вспомогательные сферы, проводимые из одного и того же центра — точки О пересечения осей конусов. Так, для нахождения точки 1 проведена сфера радиуса r.

Рис 413.Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою

Точки E»1 и E»2 на фронтальной проекции, наиболее близко расположенные к оси конуса с вертикальной осью, определены при помощи сферы, вписанной в этот конус 1 ). Точки F’1 и F’2, в которых на горизонтальной проекции происходит разделение на видимую и невидимую части, определены при помощи пл. γ, проходящей через ось конуса. Это пример применения в одном и том же построении двух способов — способа вспомогательных секущих плоскостей и способа вспомогательных секущих сфер.

На рис. 413 показано соединение поверхностей двух тел вращения — конической и с криволинейной образующей. Применены вспомогательные сферы. Сначала

1 ) Линия пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии, проецируется на плоскость, параллельную плоскости симметрии, в виде кривой второго порядка. В данном случае получается гипербола. Точки Е»2 и Е»2 являются ее вершинами. На рис. 411 фронтальная проекция линии соединения поверхностей является параболой (см. § 65).

Рис 414.Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою

определяются проекции точек на пл. π2, а затем на пл. π1. Например, точка 5 на пл. π1 определена на дуге окружности, проведенной из точки О’ радиусом О’А’ = О»А»; точка 51 получена на дуге радиуса О’А’1 = O»1А»1. Точка с проекциями 4″ и 4′ найдена при помощи сферы, вписанной в поверхность вращения с криволинейной образующей.

Точки на пл. π3 найдены обычным построением третьей проекции по двум, определенным на плоскостях π1 и π2. Для экономии места на рис. 413 все три вида даны не полностью.

Пример, приведенный на рис. 414, позволяет установить преимущество способа вспомогательных сфер перед другими для данного случая. Требуется построить проекции линии соединения поверхностей конуса вращения и кругового кольца (на рис. 414 изображена половина кольца). В левой части чертежа показано применение вспомогательных секущих плоскостей, параллельных оси конуса. Эти плоскости рассекают поверхность конуса по гиперболам, которые приходится строить по точкам, а кольцо — по полуокружностям радиусов O’1А’ и O’1А’1. Например, построив на фронтальной проекции гиперболу — линию пересечения конической поверхности плоскостью α, проводим дугу окружности радиуса O»1А»=O»1А»1, находим точки К» и М» на фронтальной проекции и соответствующие им горизонтальные проекции К’ и М’.

Приходится строить ряд гипербол, что усложняет решение и уменьшает точность. Неудобно было бы пользоваться и плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, так как эти плоскости при указанном на рис. 414 расположении кольца будут пересекать его поверхность по некоторым кривым; для построения каждой из них придется находить ряд точек (см. § 58). Также и плоскости, проходящие через вершину конуса, дадут в пересечении с поверхностью кольца кривые, которые придется строить по точкам.

Построение упрощается и уточняется, если применить вспомогательные сферы, центры которых должны быть на оси конуса. Сферы надо подбирать так, чтобы они пересекали кольцо по окружностям. Получить это можно следующим образом.

Возьмем плоскость α1 проходящую через ось кольца и перпендикулярную к пл. π2. Она пересечет кольцо по окружности радиуса 1Е»1 с центром в точке 1; на

пл. π2 эта окружность проецируется в виде отрезка прямой. Где должны находиться центры сфер, которые можно провести через эту окружность? Очевидно, они лежат на прямой, проходящей через центр окружности 1 и перпендикулярной к пл. α1. Эта прямая на фронтальной проекции изображается линией 1С»1, перпендикулярной к α1, ( и следовательно, касательной к осевой окружности кольца, изображенной на рисунке штрихпунктирной линией).

Итак, мы должны провести сферу, центр которой лежит, во-первых, на оси конуса, а во-вторых, на прямой 1С»1. Такой центр С»1 вполне определяется двумя этими прямыми, и мы можем провести сферу с центром С»1 и радиусом С»1Е»1; на пл. π2показана часть проекции сферы — дуга окружности. В пересечении сферы с конусом получается окружность, проецирующаяся в виде отрезка, проходящего через точку В»1; пересечение же с кольцом — по указанной выше окружности, проецирующейся в виде отрезка на следе α»1. В пересечении этих прямых и найдена точка L» — проекция одной из точек искомой линии.

Аналогично, при помощи пл. α2 и точек 2, С»2, В»2, Е»2 найдена точка N». Для построения горизонтальных проекций этих точек можно использовать параллели конической поверхности, как показано для точек L’ и N’.

Можно представить себе, что прямые С»11 и С»22 являются осями некоторых цилиндров, нормальное сечение которых совпадает с нормальным сечением кольца. Если взять точки 1 и 2 весьма близко друг к другу и представить себе, что таких точек весьма много, а следовательно, много проведенных через эти точки осей и много цилиндров, то поверхность кольца окажется замененной последовательно расположенными цилиндрическими поверхностями. Поэтому задача сведется к нахождению точек, общих для поверхности конуса и поверхности каждого такого «мгновенного цилиндра» 1 ). Оси «мгновенных цилиндров» пересекают ось конуса в точках, которые принимаются за центры вспомогательных сфер, пересекающих конус и «мгновенный цилиндр» по окружностям; проекции этих окружностей на пл. π2 представляют собой отрезки прямых линий. Окружности, по которым вспомогательные сферы пересекают «мгновенные цилиндры», являются теми нормальными сечениями кольца, от которых и началось, построение.

Рис 415.Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою

На рис. 415 изображены частично два конуса вращения с общей вершиной S и показано построение той образующей, по которой пересекаются конические поверхности в изображенных их частях. Одна точка искомой образующей известна: это вершина S. Для нахождения второй точки применена вспомогательная сфера с центром в точке S. Сфера пересекает одну из конических поверхностей по дуге окружности, радиус которой равен О’1′ или O»1″. Вторую из поверхностей сфера пересекает по дуге окружности с радиусом, равным О’11′1 или O»11″1. Фронтальные проекции этих дуг пересекаются в точке М», а горизонтальные — в точке М’; точки М» и М’ являются проекциями точки М» — второй точки для искомой образующей.

Такое построение было использовано на рис. 401.

1 ) Мы применили выражение «мгновенный цилиндр», чтобы подчеркнуть замену поверхности кольца очень большим числом цилиндрических элементов. Практически производится лишь несколько таких построений.

Построение линии пересечения конусов методом концентрических сфер

На рисунке ниже изображены два конуса вращения. Их оси i1 и i2, пересекаясь в точке O, образуют плоскость α(i1∩i2), которая параллельна фронтальной плоскости проекций π2.

Для построения линии пересечения конусов, показанных на рисунке, целесообразно использовать метод концентрических сфер. Применение данного метода возможно в результате выполнения следующих условий:

  • пересекаются поверхности вращения (в частности, конус с конусом, конус с тором или цилиндром и т.д.);
  • оси поверхностей, пересекаясь между собой, образуют плоскость, которая параллельна одной из плоскостей проекций (в рассматриваемом примере пл. α(i1∩i2)∥π2).

Алгоритм построения линии пересечения

Построение линии пересечения начинают с нахождения характерных точек, которые определяют ее границы и видимость относительно плоскостей проекций.

Определение характерных точек

Плоскость α, образованная пересекающимися осями i1 и i2, является общей плоскостью симметрии двух конусов. На рисунке показан ее горизонтальный след h. Пересечение пл. α с конусами происходит по образующим S2A, S2B и S1C, S1D. Данные образующие ещё называют очерковыми, так как они очерчивают границы поверхностей (на фронтальной проекции).

Точки пересечения очерковых образующих

Точки F’’, E’’, G’’, K’’, в которых пресекаются прямые S’’2A’’, S’’2B’’ с прямыми S’’1C’’ и S’’1D’’, определяют границы линии пересечения конусов в её проекции на плоскость π2. Для нахождения F’, E’, G’ и K’ проводят линии связи из F’’, E’’, G’’, K’’ до горизонтального следа h0α.

Определение промежуточных точек

Воспользуемся методом концентрических сфер для нахождения множества промежуточных точек линии пересечения. Центром, из которого проводятся вспомогательные сферы, является точка O пересечения осей i1 и i2 рассматриваемых конусов.

Радиус Rmax наибольшей сферы, применяемой в построениях, равен длине отрезка O’’G’’ – расстоянию от точки O до наиболее удаленной от нее точки G пересечения очерковых образующих.

Сфера минимального радиуса Rmin – это сфера, вписанная в один из конусов и пересекающая другой. На рисунке ниже Rmin= O’’H’’, где O’’H’’⊥ S’’2B’’.

Метод концентрических сфер

Рассмотрим построение точек 1, 2, 3 и 4. Сфера радиусом Rmin пересекается с конусом, в которой она вписана, по окружности. Данная окружность проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка P’’H’’. Кроме того, сфера радиусом Rmin пересекается со вторым конусом по двум окружностям, диаметры которых соответственно равны длинам отрезков M’’N’’ и T’’L’’. Таким образом, на поверхности сферы лежат три окружности, которые пересекаются в общих для двух конусов точках 1, 2, 3 и 4.

Фронтальные проекции 1’’, 2’’, 3’’, 4’’ находятся на пересечении отрезков M’’N’’, T’’L’’ с P’’H’’. Для нахождения горизонтальных проекций 1’, 2’, 3’, 4’ точек 1, 2, 3, 4 на плоскости проекций π1 из центра O’ проводим две окружности с диаметрами M’’N’’ и T’’L’’. Учитывая принадлежность точек соответствующим окружностям, по линиям связи определяем их горизонтальные проекции, как это показано на рисунке выше.

С помощью вспомогательной сферы радиусом Rvar, где Rmin ≤ Rvar ≤ Rmax, найдены точки 5 и 6. Как видно из построений, они находятся на пересечении двух окружностей, которые проецируются на фронтальную плоскость в виде отрезков W’’U’’ и Q’’V’’.

В описываемом способе решения каждая сфера играет роль посредника, содержащего на своей поверхности кривые (окружности), принадлежащие пересекающимся конусам. Действуя в соответствии с приведенным выше алгоритмом, необходимо найти такое количество точек, которое позволит определить геометрическую форму линии пересечения на каждой из проекций.

Построение линии пересечения конусов

Найденные точки соединяем плавными кривыми с учетом их видимости. Как видно на рисунке, в результате пересечения конусов образовались две замкнутые линии. Они показаны красным цветом.

Способ вспомогательных секущих сферических поверхностей

Способ вспомогательных секущих сферических поверхностей позволяет определять линию пересечения двух произвольных поверхностей вращения. Для этого используется свойство присущее поверхностям вращения — две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, проходящей через точки (A, B) пересечения их меридианов (m1, m2).

Способ вспомогательных секущих сферических поверхностей

Способ вспомогательных секущих сферических поверхностей

Плоскости окружностей сечения перпендикулярны оси поверхности вращения. Поэтому, если оси поверхностей вращения параллельны плоскости проекции, то на эту плоскость окружности сечения проецируются в отрезки прямых, перпендикулярных проекции на нее оси вращения. В качестве вспомогательной секущей поверхности вращения используют удобную для вычерчивания сферическую поверхность, центр которой должен принадлежать оси поверхности вращения. Задачи по определению линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии просто решаются с помощью вспомогательных сферических поверхностей. При этом различают два случая: — если оси поверхностей пересекаются; — если оси поверхностей не пересекаются.

Оси двух произвольных поверхностей вращения пересекаются

Способ вспомогательных секущих сферических поверхностей

Способ вспомогательных секущих сферических поверхностей

определение линии пересечения двух поверхностей вращения выполняют с помощью концентрических сфер. В данном примере это конус и тороид (самопересекающийся тор), используется способ вспомогательных секущих сферических поверхностей, которые имеют общий центр. Применение концентричных сфер возможно при наличии трех графических условий: — пересекаются поверхности вращения (за исключеним открытого и закрытого тора); — общая плоскость симметрии представляет собой плоскость уровня; — оси поверхостей пересекаются в точке, которая служит общим центром вспомогательных секущих сферических поверхностей. Способ вспомогательных секщих плоскостей тут применять не рационально, так как ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности по окружностям. Алгоритм построения линии пересечения: — находим опорные точки A и B, C и D в пересечении меридиональных сечений m1 и m2 поверхностей α и β; — находим точку пересечения осей поверхностей α и β: О=(iα ∩ iβ); — проводим вспомогательную сферическую поверхность Y произвольным радиусом Р, которая пересечет пересечет поверхности α и β по окружностям a=(α ∩ Y) и b=(β ∩ Y) соответственно; — находим точки линии пересечения в пересечении окружностей; — действуя подобным образом, можно найти достаточное количество точек, соединив которые плавной линией получим искомую линию пересечения поверхностей.

Когда оси поверхностей не пересекаются

Способ вспомогательных секущих сферических поверхностей

Способ вспомогательных секущих сферических поверхностей

Построение линии пересечения открытого тора и цилиндра выполняется способом эксцентричных сфер так как: — открытый тор имеет круговые сечения во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через его ось вращения it; — общая плоскость симметрии поверхностей; — оси поверхностей скрещиваются

и ведется по следующему алгоритму: — вводим вспомогательные сферы, задавая произвольные сечения поверхности тора фронтально проецирующими плоскостями, проходящими через его ось. Окружность a1-a2 — это заданная линия пересечения тора с искомой вспомогатнльной сферой, центр которой должен лежать на перпендикуляре к проекции этой окружности; — проводим к прямой a1-a2 через ее середину перпендикуляр к и на его пересечении с осью цилиндра находим центр O1 вспомогательной сферы; — из центра O1 проводим окружность радиусом Rсф1; — строим линию пересечения сф1 с цилиндром b1-b2; — в пересечении a1-a2 и b1-b2 находим совпадающие точки 1(1); — действуя подобным образом, можно найти достаточное количество точек, соединив которые плавной линией получим искомую линию пересечения поверхностей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *