Допустимое напряжение в пластине формула

k₁ =0,16747*( a / b ) 6 -0,766*( a / b ) 5 +1,4455*( a / b ) 4 -1,4342*( a / b ) 3 +0,78433*( a / b ) 2 -0,22506*( a / b )+0,029239=0,0254

k₁ =-0,00012*( a / b )+0,0026=0,0254

k₂ =0,71922*( a / b ) 6 -3,1489*( a / b ) 5 +5,6353*( a / b ) 4 -5,1372*( a / b ) 3 +2,3658*(a/b) 2 -0,50294*( a / b )+0,12003=0,0829

k₁ =-0,0008*( a / b )+0,0833=0,0829

Точность аппроксимации очень и очень высокая. Об этом можно судить как по абсолютным Δ_абс и относительным Δ_отн погрешностям, так и по величине достоверности R 2 .

10. Максимальный прогиб пластины w в мм будет в рассматриваемой схеме в центре пластины в точке O; вычисляем его

в ячейке D13: w = k₁ * q * a 4 / D =1,07

Расчет прогиба в MS Excel выполнен. Величина прогиба не превышает четверти толщины листа, следовательно применение использованных формул правомерно.

12. Наибольшие моменты на единицу длины сечения пластины M_max возникают в рассматриваемой схеме по серединам больших сторон контура в точках A и A’. Вычисляем их в Н*мм/мм

в ячейке D15: M_max = k₂ * q * a 2 =332

13. Наибольшие напряжения в пластине σ_max в точках действия максимального момента вычисляем в Н/мм 2

в ячейке D16: σ_max =6* M_max / h 2 =80

Напряжения не превышают предела текучести. Деформации листа являются упругими, после снятия нагрузки пластина вернется в исходное плоское состояние.

Заключение.

По предложенной программе в Excel можно выполнять расчет прогиба тонкой жесткой прямоугольной пластины из любого изотропного материала – стекла, пластмассы, бетона, любого металла при жестком закреплении контура.

Прогиб вычисляется точно для любых материалов. Напряжения рассчитываются точно только для стали. Чем значительней коэффициент Пуассона материала отличается от коэффициента Пуассона стали, тем больше будет ошибка в определении действующих напряжений.

Так как способов закрепления контура пластины, видов форм пластины, сочетаний нагрузок — очень много, то задача расчета прогибов при рассмотренном подходе к решению распадается на сотни индивидуальных задач, в которых значения коэффициентов k₁ и k₂ также индивидуальны!

В продолжение темы «Расчет прогиба пластины» может быть в одной из будущих публикаций попробую рассмотреть более универсальный подход – метод конечных разностей с использованием MS Excel.

P. S. (27.03.2022)

В файл с расчетами добавлены вычисления максимальных прогибов и напряжений по двум схемам для круглых пластин.

Статьи с близкой тематикой

• Расчет трубы на прочность
• Расчет на смятие шариком плоскости
• ЛСТК профиль (Excel, Еврокод 3)
• Деформационное упрочнение металла при изгибе
• Метод конечных разностей в расчете прогибов пластин

Отзывы

130 комментариев на «Расчет прогиба пластины»

Николай 26 Мар 2016 23:02

Здравствуйте, уважаемый, Александр. Читая Вас, уже около двух лет, не могу сдержаться. что бы не сказать. Вы лучшее, что есть, в этой «помоЙке интернет».Вы затрагиваете настоящие научные вопросы (теорию устойчивости нам преподавали целый семестр, но я ничего не вынес).

. незавидное место Вы мне отвели — «лучшее на помойке». 🙂

Простите человека, он просто не так сказал то,что хотел произнести.Вы хороший Учитель. Их сейчас мало. Много консультантов, преподавателй, информаторов и т.п.

Добрый вечер, Александр Очень хорошая статья. Спасибо! У меня вопрос. Возможен ли расчет с ее помощью для круглых пластин? Я не механик, сопромат дается с трудом. С уважением.

Александр, добрый день. Для круглых пластин k1 и k2 имеют иные (отличные от приведенных в статье) значения. Если нужна помощь, напишите или пришлите Вашу схему, указав: тип нагрузки, материал пластины, способ закрепления контура.

насчет помойки Вы перегнули

За время 10 лет чиновничьей деятельности на должностях начальника инспекции в энергонадзоре, начальника отдела в республиканской службе и 10 лет занятий и здесь и там (энергосбережение, строительство, эксплуатация, проектирование и пр.) я сильно оторвался, с самообразованием бывали проблемы + алкоголизм и сопутствующее. Короче! Ваши статьи это плейбой для инженера! Вспоминаем, восстанавливаем, восполняем пробелы, получаем ненужные, но полезные знания. А каков смысл вашей деятельности, ведь альтруизм в наше время только кое где и кое у кого? Вы один или группа граждан? Чем могут помочь подписчики? Можно ли использовать материалы в профессиональных целях и попытках преподавания техминимума в районе, где я единственный инженер-теплоэнергетик

С уважением Ефимов Сергей Михайлович. Просьба, если это не нарушает Ваших принципов, также представиться

Сергей Михайлович, Вы читаете блог Александра Воробьева. Подробнее — на страницах «О блоге» и «О себе» (см. вверху). Я — не «группа граждан»; материалы можете использовать со ссылкой на источник; хотите поддержать проект — напишите через страницу «Обратная связь».

Моя задача: стальной цилиндр d=160мм, L=500мм. Пластина приварена к торцу цилиндра Толщина металла 4 мм. метал ст.3 или 08 Пластин строго говоря две по торцам цилиндра. Это случай с гидроударом в полости цилиндра. Нужно примерно рассчитать давление при котором начнется разрушение. На практике произошло разрушение по сварному шву пластины с ее деформацией. Может подскажете или литература по этому вопросу имеется? С уважением, Александр

Сопротивление срезу Ст3 — 450 Н/мм2 Толщина пластины — 4 мм Диаметр цилиндра — 160 мм Площадь давления — 3,14*160^2/4=20106 мм2 Площадь среза пластины по контуру — 3,14*160*4=2011 мм2 Сила, срезающая пластину — 450*2011=904779 Н Давление, создающее силу — 904779/20106=45 Н/мм2 (450 атм) Приблизительно где-то так.

Александр! Спасибо! С уважением
Возможно в екселе реализовать метод конечных элементов ?
Не делал, но считаю, что возможно. Метод конечных разностей из «одной оперы».
в основном для расчетов используете программу excel? Mathcad используете?
Excel закрывает все мои потребности. К Mathcad не обращался уже лет 10.

Доброго дня, Александр! Очень интересно и позновательно было прочитать эту статью. Спасибо Вам! P.S.Не могли бы Вы подсказать расчет неупругой деформации пластинки 15.5мм диаметром (52,5мпа, 1мм толщина, закреплена по окружности, титан от4). Хотя бы как найти эти к1 и к2. С уважением.

Максим, поищите ответ в книгах Вайнбергов или Тимошенко. Я «с ходу» не готов ответить по пластическим деформациям.

Здравствуйте, Александр. Огромное спасибо за ваш труд! Вопрос такой. Если у меня прогиб в 4 раза больше толщины, то уже нужно считать не как жесткую пластинку. Как гибкую пластинку или как мембрану? В чем основная их разница, и нет ли у вас статей на эту тему?

Добрый день, Максим. Ваш случай относится к классу — гибкие пластины. У меня нет статьей об этом классе пластин. Могу порекомендовать книгу Тимошенко и Войновского-Кригера «Пластины и оболочки». В ней, по-моему, есть ответ на Вашу задачу.

Доброго времени суток, Александр. Спасибо за вашу статью. Конечно, хотелось бы и про круглую пластину информации. Потому у меня к вам небольшая просьба. Мне для изучения образца нужна формула для расчета деформации круглой пластины с жестко закрепленным контуром. Просто формула с обозначением букв. Если Вам не сложно, могли бы вы такую предоставить? С Уважением, Алексей.

Алексей, добрый день. Для ответа на Ваш вопрос не достаточно информации — не указаны ни тип, ни характер ни области приложения нагрузки.

Дана круглая стальная пластина свободно опертая по контуру пластины, диаметром 35 мм и толщиной 0,1 мм. Точечная нагрузка направлена в центр.

Чуть выше Вы, Алексей, писали, что пластина с жестко закрепленным контуром. Сейчас пишите — свободно опертая. Уточните!

Для свободно опертой пластины прогиб в центре: w=P*r^2/(16*π*D)*(3+μ)/(1+μ) P-сила в центре r-радиус пластины D-цилиндрическая жесткость пластины π-число пи μ-коэффициент Пуассона материала пластины D=(E*h^3)/(12*(1-μ^2)) E-модуль упругости материала пластины h-толщина пластины

Александр, Здравствуйте! Ваши статьи очень ценные! Не подскажите где можно найти решение для пластины шарнирно опертой по трем кромкам и со свободной 4-ой и нагруженной на этом крае сосредоточенной силой. В Вайнберге есть решение, но не понятно как оно было получены. И знаете ли Вы аналог Вайнберга (справочник по пластинам) в английской литературе? Заранее благодарна Рита!

Здравствуйте, Рита! Тимошенко и Войновский-Кригер «Пластины и оболочки» (эта книга, по-моему, в оригинале на английском).

Добрый день, Александр. Подскажите, пожалуйста, возможно ли рассчитать толщину квадратной пластины, если известны её сторона, материал и давление, оказываемое на неё. Или же вам может, что-нибудь известно о расчёте толщины квадратной трубной доски с квадратным расположением труб в ней. Буду признателен за любые идеи.

Дмитрий, здравствуйте. Возможно ли рассчитать толщину квадратной пластины, если известны её сторона, материал и давление, оказываемое на неё? Именно об этом написано в этой и следующей статьях на этом сайте. К исходным данным нужно добавить закрепление (опирание) по контуру, задаться толщиной и, рассчитав максимальные напряжение и прогиб, сравнить с допустимыми значениями.

Очень хорошая, удобная программа.Мне по роду деятельности приходиться заниматься — так получилось — совершенно разными расчётами(всё же — советский инженер), в т.ч. и не имеющими отношения к моему образованию.И Вы, Александр, здорово помогли этой «считалочкой» быстро провести прикидочные расчёты, позволившие выбрать наиболее оптимальныйвариант конструкции — мы перестраиваем помещение. С благодарностью и уважением, Сергей.

Спасибо за комментарий, Сергей.

Было бы здорово, если бы можно было считать сосредоточенную нагрузку на закреплённой пластине. Может, что подскажете на этот случай? И, кстати, согласен с утверждением, что иногда надо считать «вручную» — с это началось моё знакомство с Вашим сайтом,в частности, со статьи по расчёту балки(на примере турника). С уважением.

Сергей, здравствуйте. Для решения Вашей задачи нужно проделать работу похожую на проделанную в статье. А можно воспользоваться численным методом, изложенным в этой статье блога.

Спасибо, попробую воспользоваться статьёй.

Добрый день! Спасибо за полезную статью. Не подскажете, как рассчитать минимальную толщину круглых двух пластин из титанового сплава, при которой не будет их прогиба, тоесть обеспечено равномерное сжатие пьезокерамических колец такого же диаметра винтом и гайкой. Имеющиеся пластины толщиной 1.5 мм прогибаются при затягивании гайки и пьезокерамика разрушается. Диаметр пластин и пьезокерамики 26мм, винт М6×35 (примерно сталь 40), гайка М6 (примерно сталь 40), крутящий момент 25 Нм,осевое усилие сжатия примерно 1000—1200 кгс. Спасибо.

Анатолий, здравствуйте. Какую податливость имеет пьезокерамика? Дело в том, что в этой схеме прогиб будет всегда! Конечно, при толщине пластин 10 мм он может быть размером меньше 1 мкм,но будет. Ваша проблема, думается, в другом. Стандартная гайка двигается по винту с перекосом («восьмерит»). Для устранения этого нужно изготовить гайки с биением торцев относительно резьбы меньше 0,05 мм,а для обеспечения передачи усилия равномерно по всей поверхности диаметр опорной поверхности желательно сделать равным 26 мм. Расчеты можно попробовать сделать методом конечных элементов, например, в APM FEM KOMPAS. Но для расчета нужны все механические характеристики пьезокерамики.

Добрый день. можете сделать программу в ЕХСELе для расчета на прогиб пластины, но пластина с отверстиями

Здравствуйте, Иван. Вы ничего не сказали о форме пластины, характере закрепления краев, о нагрузке (распределенная, локальная). Посчитать прогиб с отверстиями пластины я, вероятно, смогу, а вот сделать универсальную программу в Excel — скорее нет.

Добрый день! Помогите рассчитать. Плита стальная, размером 820*820 мм и толщиной 190 мм. Распределённая нагрузка в центр диаметром 400 мм. Нагрузка 200 МПа. Плита стоит на 4-х опорах по краям, диаметр опор 200 мм, координаты центров опор от центра плиты х=295 у=295. Плита имеет 4 отверстия, диаметром 115, над опорами и прикручена через эти отверстия к опорам с помощью шпилек и гайек. Как посчитать максимальный прогиб в центре. Помогите, считаю разными теориями и всё всегда по разному. запутался уже.

Ответ на почте.

Добрый день, Александр. Прекрасная статья. Будем рады с Вами познакомиться! Glass Statics – бесплатное приложение по расчету прочностных характеристик стекла и стеклопакетов. Приложение создано, как инструмент способствующий сокращению времени проведения предварительных расчетов по подбору параметров используемого светопрозрачного заполнения, объединяющее информацию и по другим вопросам связанным с проектированием светопрозрачных конструкций. (не коммерческий проект: glassstatics.ucoz.site)

Добрый день. Спасибо. Взаимно.

Здравствуйте, уважаемый, Александр. Помогите, пожалуйста. Планирую изготовить под заказ простейшую приставную стальную лестницу высотой 240см. Элементы стальной конструкции Ст3: Уголок 40×40х4мм длинна 240см 4шт. Лист рифлёный 60×25см толщина «Х»мм 8шт. Доступная толщина 3мм 4мм 5мм 6мм 8мм 10мм. Каждый из 8-ми горизонтальных листов лестницы будет приварен к 4-ём вертикальным уголкам (4 сварных шва по внутреннему периметру уголков). Пожалуйста, помогите узнать минимально допустимую толщину «Х»мм прямоугольного листа лестницы, при максимальном весе в центре листа 200кг. При 200кг какой прогиб (мм) будет в центре пластины толщиной: 3мм? 4мм? 5мм? 6мм? 8мм? 10мм? Заранее благодарю Вас за ответ и помощь, с уважением, Дмитрий.

Дмитрий, здравствуйте. Странная немного лестница. Вообще-то требования к проектированию лестниц изложены в СнИПах и их желательно выполнять. По Вашему вопросу. Лист-ступенька в описанном Вами случае — это балка с защемленными краями и нагрузкой в виде силы по центру. Сечение балки — прямоугольник с высотой S и шириной 250 мм. Длина балки — 600 мм. Расчет, например, здесь, или в справочнике Анурьева в начале первого тома все нужные Вам формулы (таблицы с формулами, эскизами и схемами). Если будут затруднения — пишите. . Лучше под листы пустите перемычки из уголка по периметру. Тогда толщины листа 3 мм хватит с запасом и конструкция будет легче.

Здравствуйте. Огромное спасибо Вам за Вашу работу. Подскажите пожалуйста, а если нужно сделать такой же расчет для анизотропного материала, то что нужно менять. Задача посчитать прогиб круглой пластины жестко-закрепленной по краям.

Непростая задача. Я бы заменил материал пластины на изотропный со свойствами сначала в одном направлении, затем в другом. Проанализировав полученные результаты, сделал соответствующие выводы.

Здравствуйте, Александр. Подскажите, пожалуйста, что изменить в вашей программе, чтобы получился расчет пластины, закрепленной жестко только по 3-м сторонам. Т.е. как стенка бака или аквариума. Все остальное также, как и у вас. Возможно это? Может быть есть готовая программа для пластины с трехсторонним защемлением? Спасибо заранее.

Алексей, здравствуйте. Ну стенка бака или аквариума кроме того, что закреплена только по трем сторонам, еще и нагружена переменной распределенной силой. Готовой программы у меня нет. Но можно подумать, поработать и сделать. Есть и другие подходы к решению: — метод конечных разностей (посмотрите обязательно!); — APM FEM (для КОМПАС-3D).

Добрый день, подскажите, для параллелепипеда со стенками a и b на глубине 100 м в ячейку 7 (распределенная равномерная нагрузка) вписать 1 Н*мм^2, или 1*а*b?

Михаил, здравствуйте. Что означает «на глубине 100 метров»? Нагрузка точечная измеряется в Н. Нагрузка, распределенная по линии — в Н/м. Нагрузка, распределенная по площади — в Н/м2.

Если опустить в воду на глубину 100 м, где давление воды 1 МПа.

1 МПа = 1 Н/мм2. Это и есть в вашем случае значение равномерной распределенной нагрузки, которую следует вписать в ячейку D9 (п.7). Не надо умножать ее на площадь.

Скажите а как выполнить расчет консольной пластины

Какой ответ Вы, Николай, подразумевали получить, задавая такой вопрос? 1. Разобраться и выполнить самому. (Вся необходимая для этого информация есть на данном сайте.) 2. Обратиться к профессионалам за решением.

Добрый день, Александр. Есть такая задача: две прямоугольные плиты (пластины), соединенные шпильками по углам, между пластинами устанавливается ручной гидравлический домкрат (грузоподъемность 5т) и таким образом сооружается ручной пресс. Нужно понять, какой толщины должны быть эти пластины, чтобы их не деформировало давлением домкрата. Подскажите, пожалуйста, где посмотреть методику решения такой задачи? Спасибо. С уважением, Владимир.

Владимир, здравствуйте. Ответ отправлен Вам на почту.

Добрый день. А как посчитать стальную прямоугольную пластину на изгиб (для выбора толщины), если она опирается на бетонное основание и крепится анкерами к бетону. 40мм пластины выходит за пределы жел-бет. ограждения. На эти 40мм на край действует нагрузка от установленного окна. На каждую пластину приходится вес от окна 80кг.Я правильно понимаю, что это расчет пластины. шарнирно опертой по 3 сторонам и 1 сторона свободна?. . Методики расчета не нашел. Спасибо

Ярослав, здравствуйте. Без чертежа с нагрузками понять сложно. Универсальные методики — численные методы: метод конечных разностей, метод конечных элементов.

Александр, добрый Вам вечер! Очень уважаю ваш общественно полезный труд, и разумеется являюсь вашим подписчиком. По программе расчета пластины хотелось бы увидеть модификацию с нагрузкой не по всей площади пластины -эта задача реальной работы настила под колесами погрузчика или тележки -там напрашивается задать нагрузку по ширине колеса и пятна его контакта -условно 100×50мм в середине пластины или у края или другом месте пластины по выбору

Здравствуйте, Петр. Решение озвученной Вами задачи возможно методом конечных разностей с помощью Excel (смотреть следующую статью блога) или методом конечных элементов (например, библиотека APM FEM программы КОМПАС).

В комментариях есть упоминание об «Glass Statics – бесплатное приложение по расчету прочностных характеристик стекла и стеклопакетов.» Во-первых, программа платная. Упоминание о бесплатности здесь исключительно в маркетинговых целях, чтобы люди потратили время на скачивание и установку, авось потом купят. При попытке кликнуть на любую кнопку, перебрасыает на их сайт, где написано, что подписка может быть предоставлена проектантам. Аффтор не видит разницы между словом предоставлена и продана, ему надо не строительный софт продавать, а тарифы мобильных операторов) Он не понимает, что подобные хитрости и недомовлки вызывают только раздражение Во-втрорых, данная программа не имеет ни какой практической ценности. Она не сертифицирована и что там внутри никто не знает, а проверить возможности не дают. Расчетный блок закрыт и проверить, проводится ли расчет по указанным нормативным документам или там просто генератор случайных чисел работает нельзя. Можно только рассчитывать на честность аффтора, но судя по тому какими методами он ее продает, на это рассчитывать не приходится. Если бы она действительно работала, можно было бы сертифицировать ее и вполне официально использовать для расчетов, как, например, SCAD. Но этого почему то не делают. А в таком виде, ею нельзя пользоваться, даже в справочных целях((( Вывод. Использовать этот софт для прочностных рачетов в области, где цена ошибки очень высока, крайне не рекомендуется, даже бесплатно. А просить за это деньги. это уже ближе к мошенничеству. P.S.Это убожество даже никто не взломал, а это лучший показатель)

Олег, не стоит так раздражаться. Любимая фраза на всех форумах LINUX: «Никто никому ничего не должен! Не нравится — сделай сам.» Возможно, эта программа и была год назад бесплатной. Не знаю. Не заходил, не скачивал и не смотрел эту программу.

Добрый день. Александр, по вашей программе проводил расчет на изгиб оргстекла. Ввел все данные. Но в ячейке D13 прогиб в центре пластины получился отрицательным. Это ошибка? Прошу пояснить.

Сергей, здравствуйте. Чтобы ответить на Ваш вопрос мне нужно увидеть Ваш расчет. Отправьте его мне через страницу «Обратная связь».

Здравствуйте Александр. А не подскажите ответ на такой вот вопрос,вот тут у Вас приведены коэффициенты для k1 и k2, зависящие от размеров пластин и их формы, а возможно ли определить подобный коэффициент (а может быть он уже был кем-то определен), только который будет зависеть от уже соотношения толщины пластины и ширины её опирания? Например, в клеефанерных плитах, где за ширину опирания фанерной обшивки (плиты), будут выступать рёбра этой самой плиты? И в последствии, можно было бы при помощи данного коэффициента определить, какой характер опирания будет иметь пластина, при той или иной ширине опирания на ребро и при той или иной её толщине.

Кристина, здравствуйте. Извините, не понимаю Вашего вопроса. Что такое и где брать k1 и k2 подробно описано в статье, приведены ссылки на литературу для иных форм пластин и способов закрепления краев. Что Вы называете «шириной опирания»? Как Вы хотите при помощи коэффициента определять характер опирания? Пришлите (если хотите) эскиз и подробности через страницу «Обратная связь».

Добрый день. Я инженер по автоматизации, сопромат не изучали, можете помочь? Воспользовался калькулятором . . Взял мет.профиль 30×20х1.8 , выборка такая: — прямоугольная (сторона А — 30 мм), выбор материала Ст3, Выберите схему крепления балки и нагрузки на неё — схема 7, Распределённая нагрузка q,кг/м 30 ( общая 30 кг), Длина балки L,м 4.2 м, Размер а,м — 1 м, Размер b,м — 3.2 м, Сосредоточенная нагрузка P,кг — 20 кг ( именно в этой срединной точке). Нажимаю рассчитать, выходить окно:- Максимальный прогиб балки 0.97 см; Расчетное напряжение при изгибе балки Mx/Wx 446 кг/см2 меньше допускаемого. Для обеспечения надежности балки и их соотношение должно быть от полутора до двух. Если прочесть инструкцию, там предупреждение — Ввиду отсутствия реальных условии работы вашей балки, следует обеспечить полуторный или двойной запас прочности, увеличивая сечение или уменьшая нагрузку, т.е. расчётное напряжение д.б. в 1.5-2 раза меньше допускаемого. Вопрос — если в расчётах Максимальный прогиб балки 0.97 см,т.е. всё нормал, почему надо следовать инструкции? Реальные условия — это лотки гидропоники общим весом 50 кг ( взял 60,т.к. кратковременно будет поливаться водой 8 раз в сутки), расположенные на двух мет.профиль 30×20х1.8 длиной 4.2 ( концы приварены). Распределённая нагрузка q,кг/м 30 — максимально 60 кг на двух мет.профилях, соотно, взял на один профиль 30 кг. И, самое интересное — . , ниже написано — при жёстком креплении обоих концов допустимая нагрузка увеличивается в 3 раза учебник 1958 Беляев.

Дан, здравствуйте. Пришлите схему с размерами и нагрузками (размеры лотков и точки их опирания). Я Вам третий вариант расчета сделаю. Правильный. Схему прошу потому, что не понятно из текста Вашего письма: 1. «Распределённая нагрузка q,кг/м 30 ( общая 30 кг)» Так 30 кг/1м или 30 кг/4,2м? И что это за нагрузка? 2. «Сосредоточенная нагрузка P,кг — 20 кг ( именно в этой срединной точке)» В какой срединной? Если до точки 1м? Что это за нагрузка сосредоточенная в 20 кг? 3. «концы приварены» К чему и как приварены? Нужна схема узла. И вообще, этот вопрос к пластинам не имеет никакого отношения. А как посчитать балку без программ на листке авторучкой подробно описано в другой статье.

Здравствуйте Александр Васильевич! Очень понравилась статья и особенно то, как в них (статьях) всё «разжёвано». С большим уважением отношусь к людям, которые способны выжать максимум из подручного софта (в данном случае Excel, который имеется практически у каждого пользователя ПК). Александр Васильевич, по возможности подскажите пожалуйста по такому вопросу: Имеется задача (есть схема и исходные данные), в которой необходимо рассчитать (подобрать) ширину и толщину изогнутой пластинчатой пружины (в форме полукольца) у которой одна сторона зафиксирована, а к другой прикладывается сила (продольная). Проблема в том, что мне известны формулы расчета пластинчатых пружин на изгиб, а также заводных пластинчатых спиральных пружин. А вот формул в моём случае для «промежуточного» варианта (изогнутой пластинчатой пружины, в форме полукольца) — таковых не нашёл. Подскажите пожалуйста! Или наведите на мысль верную!))) Спасибо!

Григорий, добрый день! Спасибо за комментарий. По Вашему вопросу: смотрите изгиб криволинейных упругих элементов. Курендаш Р.С. Конструирование пружин стр. 92. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней.

Александр, если бы в разобранной Вами задаче пластина была из хрупкого материала и пусть круглой формы, то предел прочности — это предел прочности на растяжение (максимальное напряжение в этом случае на границе закрепления и направлено вдоль радиуса) или предел прочности на изгиб? Для некоторых материалов разница между этими величинами большая.

Ксения, материалы пластичные обладают пределом текучести и пределом прочности. Материалы хрупкие — только пределом прочности. Например, для хрупкого материала из Википедии: «У обычных стёкол предел прочности на сжатие составляет от 500 до 2000 МПа (у оконного стекла около 1000 МПа). Предел прочности на растяжение у стекла значительно меньше, именно поэтому предел прочности стекла при изгибе измеряют пределом прочности при растяжении. Данная прочность колеблется в пределах от 35 до 100 МПа.» Если ведете расчет на прочность — берите меньшие значения.

Здравствуйте! Прошу сообщить Ваш телефон для консультации по пластинам.
Здравствуйте! Напишите свой вопрос здесь или на почту.

Здравствуйте,а можно рассчитать что произойдет с такой пластиной: к гидроцилиндру приварена задняя крышка толщиной 80 мм,материал ст45, сила на крышку 240 тонн, диаметр внутренний 290мм,наружный-360?

Дмитрий, здравствуйте. Вас что интересует? Прогиб пластины? Усилие 240 тонн — это давление (распределенная нагрузка) на площадь круга диаметром 290 мм? Схему бы желательно. Сталь 45 относится к плохо свариваемым, более-менее качественно варится с подогревом и все равно склонна к трещинообразованию, поэтому считать в первую очередь нужно сварной шов и кольцевое сечение цилиндра. А для этого нужно знать ВСЕ размеры шва.

Здравствуйте, а можно рассчитать что произойдет со следующей пластиной: задняя крышка гидроцилиндра толщиной 80 мм приварена к гильзе, внутренний диаметр 290 мм, наружный 360, сила действующая на крышку ( пластину) — 240 тонн? Выдержит она или нет?

За сварку я знаю,так писал чтоб легче было понять,а вообще гильза и задняя крышка это одна деталь. Интересует крышка выдержит или нет на изгиб.

Переход от гильзы к крышке- галтель радиус 10 мм
240 тонн это распределённая нагрузка на круг диаметром 290 мм.
А схему чего нужно? Чертеж в смысле?
Да, интересует прогиб пластины

Дмитрий, я Вас понял. На все вопросы Вы ответили. Эта статья посвящена ТОНКИМ ЖЕСТКИМ пластинам. Теория тонких пластин распространяется на листы и плиты, у которых толщина менее 20% от наименьшего габаритного размера в плане. В вашем случае — 80/290=0,28=28%. Это уже не пластина, а корпусной элемент, не рассматриваемый в теории пластин. Решение пришлю на почту. Нужно время. Да, забыл уточнить: изнутри в углу галтель, а снаружи? Фаска? Скругление? Ничего? И еще, давление внутри цилиндра: 240000*9.81/(pi*(290^2)/4) = 35.645 Н/мм2 ~ 350 атм? Так?

1. Снаружи фаска 2 мм 2. Давление 200 АТМ,но два цилиндра работают на встречу друг другу потому сила равна 240 т.( Я считаю силу так: площадь поршня ( в см) умножить на давление ( в барах,или атм.) получаю кг.

А можно рассчитать на тонкую жёсткую пластину,т.е изменить толщину на скажем 55 мм? Что с ней будет может такой толщины достаточно для этой нагрузки?

Если что можно использовать допускаемое напряжение при изгибе для ст45 — 135 МПа( знакопеременные нагрузки)

Да,галтель на внутренней части.

20МПа*pi*(290мм^2)/4 = 1321040Н ~ 134.7т Откуда 240т? Шлите чертеж на a@al-vo.ru. Непонятно, как «цилиндры работают навстречу друг другу». А с толщиной 55мм для прямоугольника 290×291мм можете сами прикинуть по программе, которую можете скачать выше в статье. Прогиб при давлении 20МПа получается 0,06мм. Максимальное напряжение 172МПа. Максимальные напряжения будут в месте концентратора напряжения — стыка цилиндра с дном. Их желательно проверить методом конечных элементов.

Супер. Спасибо Александр!

Добрый день, подскажите пожалуйста, возможно ли рассчитать прогиб пластины два противоположных которой свободно оперты, третий свободен, четвертый же защемлен. И если да, как это сделать?

Дмитрий, здравствуйте. Можно. Как минимум 3 пути решения: 1. Методом конечных разностей. al-vo.ru/mekhanika/metod- . bov-plastin.html 2. По формулам и таблицам. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки; Вайнберг Д.В, Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. 3. Методом конечных элементов в любой 3D-FEM-программе.

Спасибо за ответ, а если рассматривать тот же прогиб пластины два противоположных которой свободно оперты, третий свободен, четвертый же защемлен, но при этом нагрузка будет не равномерно-распределенная, а гидростатическая, там по такому же принципу как и при равномерно-распределенной решать?

Нагрузку нужно задать функцией, описывающей её изменение. Можно разбить область пластины на участки и приложить к каждому участку свою усредненную равномерно распределенную нагрузку.

Здравствуйте! А есть ли какая-то методика или уже готовый расчет в экселе для гибких пластин?

Здравствуйте Александр Васильевич. Подскажите возможно ли посчитать в вашей таблице прогиб пластины из оргстекла заменяющей часть стены в бассейне при свободном опирании тремя сторонами и свободной четвертой? Крепления оргстекла условно не учитывать. размеры пластины 4000×700х50 мм длина/высота/толщина.

Кирилл, добрый день. Для гибких пластин расчета у меня нет. Посмотрите в Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки или в Вайнберг Д.В, Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. Не помню — есть там эта тема или нет. Думаю, Вы понимаете, что одна и та же пластина может быть и жесткой, и гибкой, и абсолютно гибкой по мере ее нагружения!

Сергей Шевцов, здравствуйте. В представленной в статье программе выполняется расчет прямоугольной пластины, которая жестко закреплена по всему контуру и в перпендикулярном направлении к плоскости нагружена равномерно распределенной по всей площади нагрузкой. В Вашем случае другая схема закрепления краев, и нагрузка равномерно нарастает от верха к дну бассейна.

Здравствуйте! Поясните, пожалуйста, как у вас получился максимальный прогиб пластины (w) с помощью подставления нужных значений. Заранее спасибо.

Не понимаю Ваш вопрос, Екатерина.

Добрый вечер! Пожалуйста помогите вывести формулу для прогиба и моментов, в интернете такого случая не нашёл а не сам вывести не умею. Две стальные плиты S355JR модуль Юнга 210 GPa, пуасона 0.3 , обе размером 600*600 мм и толщиной 5 мм приваренные по контуру. На первую давит распределённая нагрузка в центре 160x50mm. На вторую давит расспределённая нагрузка в центре диаметром 100mm. У обоих нагрузка 3000N. Зарание спасибо!

Антон, здравствуйте. Задачи Ваши учебные или практические? Сегодня проще и быстрее их решить методом конечных элементов в любой программе, реализующей этот метод. Или Вам нужно аналитическое решение?

Александр, здравствуйте. Задача учебная, необходимо предоставить формулы и решение для конкретного примера.

Это где, Антон, Вам такую задачу поставили? У классиков Вайнберга и Тимошенко нет аналитического решения вашего случая нагружения. Близкий случай с нагрузкой в центре, распределенной по квадрату: Д.В. Вайнберг, Е.Д. Вайнберг Расчет пластин — стр.347. Можно, конечно, еще численным методом конечных разностей «вручную» решить, но это будет не формула, а громоздкий алгоритм с матричными преобразованиями. Или — в программе методом конечных элементов (МКЭ), как я уже писал ранее.

Спасибо, Александр! Пока целиком книгу вайберга в бесплатном доступе не нашел, ознакомился с книгой Тимошенко «Пластинки и оболочки», но так и не разобрался. Можно и с МКЭ в эксель, но не совсем понимаю как приспособить к своему случаю. С жестким закреплением понятно, зеркальным узлам положительный номер, а вот как назначить эти номера соответсвенно моей нагрузке — не ясно,ведь нагрузка не равномерная по всей площади. И что указывать в значение q?

Аналитического решения конкретно вашей задачи я не встречал в литературе, но это совсем не означает, что его нет. Тот, кто поставил эту задачу — какую Вам литературу рекомендует? Методом конечных разностей (МКР) можно решить одну из задач с помощью Excel с распределением нагрузки по прямоугольнику. С распределением по кругу сложнее, придется замещать круг многогранником. С FEM-программами (МКЭ) знакомы?

Здравствуйте, Александр! Есть у Вас возможность помочь с расчётом плит пресса номинальным усилием 160 тонн? Фактически две неподвижные плиты (верхняя и нижняя) стянуты по краям четырьмя несущими скалками-шпильками диаметром 100 мм, размеры плит 630 (в среднем сечении)х1200 мм, координаты отверстий под скалки-шпильки 700×980 мм. Плунжерный гидроцилиндр, толкающий подвижную плиту, на которой располагается пресс-форма, располагается на нижней плите, диаметр его опорной, прилегающей к подвижной плите, поверхности 430 мм, отверстие в ней под фиксацию плунжера 330 мм. Требуется определиться с толщиной плит. Моменты сопротивления расчётных сечений программа SolidEdge выводит, но не пойму, как посчитать толстую плиту, по каким формулам. Если считать как балку с распределённой по длине нагрузкой, заведомо толщина получается завышенной. При толщине плиты в месте опасного сечения 150 мм, по изгибу (если считать как балку) проходит, а по прогибу далеко нет Допустимый прогиб для плит по условиям работы 0,01 мм. Или подскажите, к какому источнику обратиться. В любом случае благодарю.

Здравствуйте, Александр! Есть у Вас возможность помочь с расчётом плит пресса номинальным усилием 160 тонн? и далее см. выше в предыдущем комментарии. На случай связи в выходные дни привожу домашний e-mail.

Елена, здравствуйте. Вам нужна программа с FEM-модулем. С SolidEdge не знаком, но в нем есть 2 приложения: Solid Edge Simulation Express и Solid Edge Simulation. В Компасе — это библиотека APM-FEM (прочностной анализ). А вообще 0,01 мм — это жестко. Какая марка стали и термообработка у плит? Они под собственным весом без нагрузки будут, видимо, иметь сопоставимые прогибы. Формулы для ручного расчета близких эквивалентных схем поищите в книгах Тимошенко и Вайнбергов, которые я в комментариях многократно упоминал выше.

Александр, Занимаемся экспериментальным изучением свойств балок льда( длинна 8-10 м, ширена 0,4-0,6 м, толщина 0,04-0,1 м) у которых один конец закреплён с полем ( материнского льда), остальные фрагменты свободны (, а сама балка плавает во воде ( из которой она сформирована))на дальний от закреплённого конца прикладывается нагрузка) в ходе эксперимента заметили, что порядка 30% балок ломаются в 2-3 х местах, а не в одном (как должно получаться по теории балок или тонких пластин). Не готов отнести эти балки на ошибки эксперимента или дефект материала, тк делаем их очень аккуратно. Вы не сталкивались с описанием таких явлений в литературе или описании теории пластин/балок? Есть идеи, почему это может быть?

Думаю, Дмитрий, причиной такого явления является вода (поверхностное натяжение, вязкость, сила Архимеда . ). Балка не висит на закрепленном конце в свободном пространстве, а находится в вязкой среде. Посмотрите расчеты корпусов кораблей (лодок) и, может быть, расчеты балок (пластин) на упругом основании. Скорость (ускорение) приложения нагрузки оказывает определяющее значение на то, на сколько частей разломится балка. И дефекты — концентраторы напряжений — в виде трещин, пузырьков воздуха категорически исключать не стоит.

Огромное спасибо за Вашу работу!
Здравствуйте Александр. Нигде не могу найти скорость изгиба пластинки при ударе.
Андрей, здравствуйте. Попробуйте посмотреть динамические расчеты пластинчатых пружин.

Александр, подскажите пж, достаточна ли толщина 12 мм жестко закрепленного с двух сторон листа (сварка) длиной 684 мм, шириной 285 мм, при установке на него электродвигателя массой 76 кг

Павел, для ответа на Ваш вопрос требуется составить расчетную схему и посчитать прогибы и моменты. Для составления схемы нужно знать координаты болтов крепления лап, а также все нагрузки: силы и моменты на валу электродвигателя, плюс его вес.

Расстояние от края жесткозакрепленной пластины до лапы (по отв. в лапах) — 90 мм; между отв. лап — 216 мм (по ширине — В, так и стоит двигатель, боковой стороной к размеру ширины пластины 285 мм) по длине лап — 140 мм; двиг. — 5,5 кВт, 1000 об/ми, крепление болтами М10. Момент ведь — 9,55*(Р/n) = 52,5 Нм

max момент по паспорту для этого двигателя 120 Нм

Если я всё правильно понял из вашего описания, то максимальный прогиб пластины не должен превысить 0,833 мм при свободном опирании только на 2 коротких стороны. У вас 2 стороны (правда, не известно какие) жестко закреплены. Значит прогиб при приложении момента и веса электродвигателя будет еще меньше.

Великолепная статья, но есть вопрос по ней. Что изменится в таблице, если нагрузка на круглую пластину происходит лишь на некоторую небольшую площадь? Она так же имеет форму круга. Условно если радиус места приложения нагрузки равен половине радиуса всей пластины.

Изменится набор исходных данных, изменятся расчетные формулы. Короче — это будет другая таблица для новой схемы приложения нагрузки.

А не могли бы вы помочь в составлении подобной таблицы?
Какое закрепление края пластины?
Пластина по краю жёстко закреплена. Нагрузка прикладывается в центре, тоже по окружности.
Не могли бы вы оставить свою почту? Так коммуникация была бы быстрее
Вы прочитали письмо, которое 04.05.2023 я написал Вам на почту?
Да, оно в спам попало

Александр, день добрый. Простите, не знаю oтчества. Кратко: Я разменял 10 десяток. Ко мне обратился внук и попросил помощь. Я сформулировал задачу и прошу, если возможно наметить схему решения на PC window-11 Exel. У нас круглая пластина с отверстием 3 – 10мм в центре. На пластине симметрично расположены от 6 до 12 пазов. При этом нагрузка вертикальная одновременно на все лепестки, которые лежат на торцовой плоскости цилиндра свободно. При нагрузке все лепестки, прогибаясь соскальзывают по боковой поверхности цилиндра и попадают в паз на цилиндре, расположенном на высоте 1 – 1.5 мм от торца. Попав в паз глубиной 1 мм, они переключают работу системы передачи сигналов. При изменении направления приложения силы, лепестки возвращаются в исходное состояние и вновь происходит обратное переключение сигналов. Система работает с заданной частотой до 5 Гц. Диаметр рабочей части защемленной по контуру пластины 5 – 20 мм, толщина 100 -120 мкм, длина каждого лепестка возможна 3 – 15 мм. Материал: сталь нержавеющая, пружинная. Время работы — непрерывно в течении одного года. Нужно определить циклическую прочность лепестков. Заранее предельно благодарен. Читая Ваши решения и многие вопросы слушателей=читателей, вспомнил прошлое, особенно работы Степана Пафнутьевича Тимошенко. Восхищен Вами. Заранее СпасиБо. Жизнь продолжится.

Здравствуйте, Александр! Извините, что и я вынужден без отчества обратиться к Вам, т.к. Вы его, к сожалению, не написали. Задачу Вы сформулировали нетривиальную и многофакторную. Готового решения у меня нет. Мысли по теме: 1. Почему не поручить решение задачи переключения электронике (оптоэлектронике)? Движущаяся механика ведь менее надежна. 2. Посмотреть динамические расчеты пружин, в частности, плоских пластинчатых (например, на поршневых воздушных компрессорах такие работали в качестве клапанов в похожем режиме). 3. Поискать компьютерные программы для динамического моделирования и расчета пружин, или шире — динамического усталостного расчета деталей машин на прочность при циклических знакопеременных нагрузках. Спасибо за оценку моей работы. Желаю Вам здоровья, оптимизма, и не утратить интерес к жизни еще лет 20!

Очень интересная информация, но мне как чайнику немного сложно. Нужна помощь. Есть задача, которую без вашей поддержки думаю не решить. Необходимо определить плоскостность стальной плиты. Из инета вынес две проблемы: 1. каким инструментом это сделать и 2. что будет основанием для поверки рабочей плиты. После изучения этих вопросов возникает 3-й, а кто поможет с ответом на вопрос «Прогиб рабочей плиты»?

Лекция 4. Пластины, мембраны

Пластиной называется тело призматической или цилиндриче­ской формы, у которого один размер (толщина h ) значительно меньше других (а и b ), измеренных в плоскостях оснований (рис. 39). В технике широко используются круглые и прямо­угольные пластины; иногда встречаются пластины и других очертаний в плане. Толщина пластины может быть как постоянной, так и переменной.

Примером круглой пластины может служить днище Д цилин­дрического сосуда — бака, котла, трубы (рис. 40,а) — или поршень П, движущийся в цилиндре (рис. 40,б). Примером прямоугольной пластины, защемленной одной кромкой, может служить каждая из вертикальных стенок с сечения, составленного из листов, при значительной жесткости полки п (рис. 40,в), а при­мером пластины, упруго защемленной тремя кромками, — стенка прямоугольного резервуара (рис. 40,г).

Плоскость, находящаяся на равных расстояниях от верхнего и нижнего оснований и делящая пополам толщину h пластины постоянной толщины (рис. 39), называется срединной пло­скостью. После изгиба срединная плоскость превращается в сре­динную поверхность изогнутой пластины.

При изучении пластин принимается система координат, при которой начало координат и оси х и у лежат в недеформированной срединной плоскости пластины, а ось z направлена перпендику­лярно к срединной плоскости. В общем случае на пластину могут действовать различно направленные силы. Каждую из этих сил можно разложить на две составляющие: действующую в средин­ной плоскости и перпендикулярную к ней. Совокупность состав­ляющих усилий в срединной плоскости, называемых цепными усилиями, вызывает деформацию только в этой плоскости, а сово­купность составляющих, перпендикулярных к срединной пло­скости, изгибает пластину. В дальнейшем предполагается, что нагрузка, испытываемая пластиной, перпендикулярна к ее срединной плоскости, т. е. составляющие нагрузки в срединной плоскости равны нулю.

При определении усилий и деформаций для пластин средней толщины принимаются следующие допущения:

1. Перпендикуляр AD к срединной плоскости, опущенный из любой точки D пластины (рис. 41), остается после изгиба прямым и нормальным к изогнутой срединной поверхности (А₁ D ₁). Это допущение, называемое допущением о прямых нормалях, соот­ветствует гипотезе плоских сечений, на котором основана теория изгиба балок.

Влияние на величину перемещений некоторого искривления нормали, происходящего вследствие сдвигов, не учитывается. Оно значительно меньше, чем перемещения или , вызы­ваемые поворотом нормали вслед­ствие искривления срединной плос­кости при изгибе.

2. Нормальными напряжениями , действующими по площадкам, парал­лельным срединной плоскости, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями и принять

Это допущение называется допу­щением об отсутствии поперечного давления.

Для относительных деформаций можно использовать формулы

При изучении поперечного изгиба пластины средней толщины считаем: 1) срединную плоскость свободной от цепных усилий, 2) линейные и угловые деформации в срединной поверхности изогну­той пластины — отсутствующими. Перечисленные допущения приме­нимы только при малом прогибе пластины.

Пластину можно условно отнести к тому или иному виду в зависимости от отношения толщины h к наименьшему размеру а пластины в плане (рис. 39). Существует три вида пластин, принципиально отличающихся друг от друга характером распре­деления напряжений и способом расчета:

1. Плиты — толстые пластины, имеющие отношение

У этих пластин (рис. 42) высота настолько велика по сравне­нию с пролетом и они настолько жестки, что касательные напряже­ния , возникающие по сечениям С — С от перерезывания под дей­ствием нагрузки, имеют тот же поря­док, что и нормальные напряжения , вызванные изгибом. Плоскость, сво­бодная от цепных усилий и от деформаций, смещается по отноше­нию к срединной плоскости, а нор­мальные напряжения распределяются по высоте сечения уже не по прямолинейному, а по криволинейному закону.

Допущения, перечисленные выше, при расчете плит непри­менимы.

2. Пластины средней толщины, имеющие отношение

Под действием сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пла­стина изгибается, но вследствие достаточной жесткости прогиб w (рис. 43) не превосходит толщины h и опертая пластина способна нести вертикальную нагрузку. Эпюра нормальных на­пряжений в сечениях, перпендикулярных к срединной плоскости, прямолинейна. Характерная особенность изгиба пластин нагрузкой, нормальной к срединной плоскости, заключается в том, что он нередко сопровождается кручением.

3. Мембраны — пластины, имеющие отношение

Мембраны тонки и гибки, поэтому, чтобы они могли нести нагрузку, нормальную к срединной поверхности, их часто за­крепляют на контуре (рис. 44).

При этом нагрузка поддерживается мембраной в основном не за счет ее изгиба, а за счет растяжения по всей толщине. Таким образом, можно считать, что нормальные напряжения распределяются равномерно по толщине мембраны и срединная поверхность не свободна от напряжений. Прогибы w мембраны велики и могут в несколько раз превышать ее толщину h .

Мембраны широко применяются в различных акустических ап­паратах и гидравлических устройствах.

В зависимости от характера кон­струкции любая кромка пластины (рис. 45)

может быть защемлена (кромка 1 ), свободно оперта (кром­ка 2 ) или свободна от закреплений (кромки 3 и 4). Возможно также упругое закрепление кромки пла­стины, промежуточное между сво­бодной кромкой и защемлением, ко­торое дает возможность срединной поверхности под действием нагрузки в той или иной степени поворачиваться на упруго защемленной кромке. Примыкание кромки пластины 1 к любому упругому элементу 2 (рис. 46) представляет собой упругое ее закрепление; возможный угол поворота на кромке обратно пропорционален жесткости эле­мента 2, к которому она прикреплена.

Указанный выше признак деления пластин на плиты, пластины средней толщины и мембраны следует считать условным. Главное различие между этими клас­сами заключается в соотношении между величиной цепных и изгибных усилий, которое может быть установлено только расчетом. Одна и та же пластина в зависимости от величины отношения про­дольных сил к изгибающим моментам и от способа закрепления на контуре может быть отнесена к тому или иному классу.

Цепные продольные усилия, вызывающие равномерно распре­деленные по толщине напряжения, могут появиться при попереч­ном нагружении пластины, закрепленной на контуре, вследствие препятствий, которые оказывают опоры сближению кромок пла­стины.

Наличие продольных усилий сказывается на элементах из­гиба: прогибы, изгибающие моменты и поперечные силы тем боль­ше, чем меньше отношение . Растягивающие продольные силы уменьшают, а сжимающие увеличивают элементы изгиба от задан­ной поперечной нагрузки. Это влияние для защемленной на кон­туре пластины меньше, чем для опертой.

4.2 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах

В общем случае изгиба пластины произвольного очертания нагрузкой q (х, у), распределенной на ее поверхности по произвольному закону (рис. 47),

по граням прямоугольного элемента, имеющего размеры dx и dy в плане, выделенного из пластины двумя парами сече­ний, действуют погонные изги­бающие моменты М_х и M _у, по­гонные поперечные силы Q_x и Q_y и погонные крутящие моменты Н _x и Н _y (рис. 48).

Возникновение крутящих моментов можно объяснить так. Если рассечь опертую по контуру пластину на ряд полос 1, 2, 3, . (рис. 49,а), каждая из которых представляет собой балку, опертую по концам, то сила Р, приложенная к точ­ке А пластины, вызовет прогиб только той балки 2 , к ко­торой относится точка А. В пластине, не рассеченной на полосы, полоса 2 поддерживается соседними полосами 1 и 3, которые в свою очередь испытывают со стороны полосы 2 направленные вниз усилия Р’ (рис. 49,б). Со стороны примыкающих к полосам 1 и 3 частей а пластины эти полосы испытывают поддерживающее усилие Р». Усилия Р’ и Р», действующие на каждую из полос 1 и 3, можно привести к равнодействующей R , приложенной в центре тяжести сечения полосы, и к паре Н, скручивающей полосу (рис. 49,б).

Задачу решаем в перемеще­ниях. Из первого допущения теории пластин о возможно­сти пренебречь относительными сдвигами и ,

На основании второго допу­щения w не зависит от z . Инте­грируя равенства (4.3) по z , на­ходим

или, так как при z = 0 у нас u = v = 0,

С учетом зависимостей (4.4) относительные деформации выразятся через перемещение w следующим образом:

Так как на основании второго допущения напряжением можно пренебречь, из формул (1.20) закона Гука, полагая = 0 и учитывая выражения (4.5), получаем

Пользуясь дифференциальными уравнениями равновесия (1.2), можно найти также напряжения . Хотя мы услови­лись считать их малыми, но производные этих напряжений, вхо­дящие в уравнения (1.2), не малы, так как по толщине пластины напряжения изменяются резко. Из первых двух уравнений (1.2), пренебрегая проекциями объемных сил и интегрируя по z , получаем

Функции f ₁ и f ₂ находим из граничных условий, составленных для нижней и верхней граней пластины: при

Из третьего уравнения (1.2) следует

Нагрузка интенсивностью q ( x , у) приложена к верхней грани пластины и направлена вниз, т. е. напряжение — сжимающее. Поэтому для определения функции f ₃ ( x , у) можем написать гра­ничные условия:

Из первого условия найдем функцию f ₃ ( x , y ) и, подставив ее в (4.9), получим

Подставив это выражение во второе условие (4.10), получим диф­ференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пла­стины

— цилиндрическая жесткость пластины, аналогичная жесткости EJ балки, характеризующая способность пластины деформиро­ваться. Размерность цилиндрической жесткости представляет со­бой произведение единицы силы на единицу длины. По величине D > EJ .

Уравнение (4.11) может быть сокращенно записано через опера­тор Лапласа:

Первый член, стоящий в скобках уравнения (4.11), учиты­вает прогиб, зависящий от изгиба в плоскости х z , третий член — в плоскости yz , а второй — прогиб, зависящий от кручения.

Решение уравнения (4.11) дает уравнение изогнутой средин­ной поверхности пластины

Если оно найдено, погонные изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы, приходящиеся на единицу длины кромки пластины, определяют исходя из условий равновесия полосы пластины шириной, равной единице (рис. 50).

Составим условие равновесия моментов относительно оси у и подставим в него значение из формулы (4.6):

Отсюда, с учетом формулы (4.12), для погонного изгибающего момента получим

Аналогично из условия найдем погонный изгибающий момент

При действии одних только по­гонных изгибающих моментов М_х и M _у (рис. 51) пластина испытывает чистый изгиб в двух взаимно перпендикулярных

направлениях. Срединная плоскость ее превращается в изогнутую поверхность с главными радиусами кривизны (в сечении плоскостью, параллельной плоскости х0z) и (в сечении плоскостью, параллельной плоскости у0z). Соответствующие глав­ные кривизны срединной поверхности

Составим, учитывая (4.8), условия равенства крутящих моментов сумме моментов усилий, возникающих от напряжений , и найдем погонные крутящие моменты:

При действии одних только погонных крутящих моментов пластина испытывает чистое кручение.

Составим, учитывая (4.8), условия равенства проекций попереч­ных сил сумме проекций усилий, возникающих от напряжений (рис. 52).

Найдем погонные поперечные силы:

4.3 Цилиндрический и сферический изгиб пластины

Цилиндрическим изгибом называется изгиб пластины по ци­линдрической поверхности (рис. 53). Чтобы получить такой изгиб, закрепление двух параллельных кромок пластины должно обеспечивать неподвижность пластины, а две другие кромки должны быть свобод­ны. Нагрузка должна иметь постоянную интенсивность в направлении, параллель­ном закрепленным кромкам (на рис. 53 парал­лельно оси у), а в перпенди­кулярном направлении может быть произвольной.

На рис. 53 представлен цилиндрический поперечный изгиб под действием распре­деленной нагрузки. Интенсив­ность нагрузки и реакция вдоль линии, параллельной закреплен­ной кромке (оси у), постоянны, а кромки, параллельные оси х, сво­бодны. На рис. 54 показан цилиндрический чистый изгиб, который происходит под действием моментов М₁ и постоянной интен­сивности, распределенных по кромкам, параллельным оси у.

Для определения усилий, возникающих при чистом цилинд­рическом изгибе, рассматривается пластина, нагруженная по кромкам моментами М₁ и (рис. 54). Размерность изгибающего момента М₁ приходящегося на единицу длины кром­ки, т. е. погонного изгибающего момента,

Пластину нужно представить себе рассеченной на ряд полос шириной, равной единице, сечениями, параллельными оси х (рис. 55). Каждую из полос можно рассматривать как балку, опертую своими концами и нагруженную по концам моментами М. Отличие таких балок от полос пластины заключается в том, что у первых поперечные деформации их сечений ничем не стеснены, тогда как поперечной деформации полосы пластины (рис. 56) пре­пятствуют соседние полосы, которые тоже стремятся деформиро­ваться в поперечном направлении. Для полос, вырезанных на некотором расстоянии от кромок а,

можно считать, что относитель­ная линейная деформация e _у равна нулю, т. е. состояние пла­стины — плоское деформированное. При пользовании формулами подразд. 1.10 следует в соответствии с системой координат, принятой для пластин, заменить в них коорди­нату z на у, а координату у — на z .

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности и выражения для изгибающих мо­ментов могут быть получены из со­ответствующих выражений подразд. 4.2, если учесть, что при цилиндриче­ском изгибе прогиб w не зависит от координат у и z . Тогда уравне­ние (4.11) примет вид

Проинтегрировав выражение (4.18) дважды, получим

Уравнение (4.13) для погонного изгибающего момента при­мет вид

Нормальное напряжение, параллельное оси х,

где – момент инерции полосы прямоугольного сечения шириной, равной единице.

Так как на некотором расстоянии от свободных кромок пла­стина испытывает плоскую деформацию,

Выражение (4.21) для ничем не отличается от выраже­ния для нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки при ее чистом изгибе. Отличие цилиндрического изгиба пластины от изгиба балки заключается в том, что в пла­стине, кроме напряжения , возникает еще напряжение . Прогибы w пластины при цилиндрическом изгибе вычисляются путем двукратного по­следовательного интегрирования диф­ференциального уравнения (4.19). Они оказываются меньше, чем для балки-полосы, так как цилиндриче­ская жесткость D , стоящая в зна­менателе правой части уравнения (4.19), больше, чем жесткость балки EJ .

Если пластина подвергается действию равномерно распреде­ленных моментов по окружности (рис. 57), она изгибается по сферической поверхности.

Главные радиусы кривизны в любом сечении одинаковы:

поэтому на основании (4.15)

Заменив вторые производные в уравнениях (4.13) и (4.14) кривизной, на основании формулы (4.23) получим изгибающий мо­мент при сферическом изгибе

и выражение для кривизны

Дифференциальное уравнение (4.11) и выражения для кру­тящего и изгибающих моментов и для поперечных сил получены в предположении, что в срединной поверхности отсутствуют цепные погонные усилия: продольные N _х и N _у и сдвигающие Т_ху и Т_ух. Дифференциальные уравнения изгиба пластины конечной жесткости при наличии цепных усилий и выражения для усилий М, N , Q , Н и Т получены Карманом:

Эта система может быть сведена к системе двух совокупных дифференциальных уравнений с помощью введения некоторой непрерывной функции , называемой функцией напряжений. Если выразить продольные и сдвигающие силы N и Т через функ­цию напряжений

то можно убедиться, что первые два уравнения системы (4.24) будут тождественно удовлетворены при любом виде функции .

Подставив выражения (4.25) для цепных усилий N и Т во второе и третье уравнения системы (4.24) и заменив изгибающие и кру­тящие моменты М и Н их выражениями (4.13), (4.14), (4.16) полу­чим следующую систему дифференциальных уравнений Кармана в частных производных:

Уравнения (4.26) применяют для расчета гибких пластин большого прогиба w > h /2. Если цепные усилия оказывают малое влияние на изгиб, то в системе (4.26) следует пренебречь членами, зависящими от . Первое уравнение системы (4.26) отпадает, а второе принимает вид

Этим уравнением мы и пользуемся для расчета плит и пластин средней толщины.

При расчете мембран, обладающих малой жесткостью на изгиб, в системе уравнений (4.26) следует пренебречь членами, пропорциональными цилиндрической жест­кости. Тогда первое уравнение этой системы остается в силе, а второе уравнение примет вид

В частном случае, когда сдвигающая сила Т равна нулю, про­дольные силы N _х = N _у = N и для определения w можно со­ставить следующее дифференци­альное уравнение:

Решение дифференциального уравнения (4.11) в конечной форме получено для эллиптиче­ской и круглой пластин, защем­ленных на контуре и нагружен­ных равномерно распределенной нагрузкой. В остальных случаях пользуются приближенными реше­ниями.

Интеграл дифференциального уравнения (4.11), представ­ляющего собой уравнение четвертой степени в частных производ­ных от двух независимых переменных, должен удовлетворять восьми граничным условиям на контуре. На каждой кромке можно составить по два условия, исходя из равенства нулю соответству­ющих двух величин из числа следующих: прогиба w, угла , из­гибающих моментов М_х или M _у, обобщенных поперечных сил или .

Обобщенные поперечные силы представляют собой попереч­ные силы на свободных кромках пластины, заменяющие одновре­менное действие погонных крутящих моментов и попереч­ных сил

Таким образом, общее число условий составляет 2 х 4 = 8. Например, для пластины (рис. 58) следует составить следующие восемь условий:

Обычно геометрические граничные условия, относящиеся к про­гибам w и углам поворота сечений , выполняются точно, а стати­ческие граничные условия, относящиеся к изгибающим момен­там М и обобщенным поперечным силам Q 0 , — лишь в интеграль­ной форме. После того как будут найдены погонные изгибающие моменты, поперечные силы и крутящий момент, напряжения можно определить по формулам сопротивления материалов

Наибольшие нормальные напряжения от изгиба и и ка­сательные напряжения от кручения возникают в точках верх­ней и нижней граней пластины. Наибольшие касательные напряже­ния и от перерезывания возникают в срединной плоскости.

4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины

Если круглая пластина (рис. 59,а) подвергается действию нагрузки, симметричной относительно вертикальной оси z, про­ходящей через центр О пластины и называемой центральной осью, то изогнутая срединная поверхность ее представляет собой поверх­ность вращения, симметричную относительно оси z . Поэтому се­чение пластины любой радиальной вертикальной плоскостью хОz, изображенное на рис. 59,б, окажется также симметричным от­носительно оси z. На рис.59 через х обозначена любая ось, ле­жащая в срединной плоскости и совпадающая с радиусом пла­стины; все точки А, лежащие на окружности радиусом х, испыты­вают одинаковое усилие, их вертикальные прогибы w (перемеще­ния, параллельные оси z) тоже одинаковы.

Если координата х получила приращение dx , то прогиб w получит соответствующее приращение dw . Отношение

представляет собой приближенно, ввиду малости w , угол наклона, который составляет касательная ТТ, проведенная в точке А, к изогнутой срединой поверхности пластины. При заданном направлении оси z тангенс угла и, следовательно, и угол — отрицательны. Как известно, криволинейная поверхность имеет в любой точке А два главных радиуса кривизны и , из которых один наибольший, а другой наименьший. Радиусы кривизны в данной точке со­впадают с главной нормалью, т. е. с нормалью, лежащей в плоскости кривизны и пер­пендикулярной к касатель­ной плоскости, проведенной в точке А к криволинейной поверхности.

Для круглой симметрично нагруженной пластины (рис. 60) главный радиус кривизны характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в плоскости хОz. Центр C ₁ кри­визны может находиться выше или ниже плоскости Ох в зави­симости от изгиба пластины: выпуклостью вниз или вверх.

Радиус кривизны характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в направлении, перпендикулярном к пло­скости чертежа, и представляет собой образующую конуса, вер­шина которого C ₂ лежит на оси z , а радиус основания равен х. На основании приближенного выражения аналитической гео­метрии и зависимости (4.28) главная кривизна

Из прямоугольного треугольника АВС₂ видно, что

откуда вторая главная кривизна

Подстановка значений (4.29) и (4.30) в формулы (4.13), (4.14) с учетом (4.15) дает выражения для погонных из­гибающих моментов радиального М _r и окружного М _T :

Для дальнейших выводов понадобится еще выражение произ­водной погонного радиального изгибающего момента

4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины

Это уравнение может быть получено из уравнения (4.11) путем преобразования его на основании формул перехода от прямо­угольных координат к полярным. Применительно к осесимметричной задаче той же цели можно достигнуть при непосредственном рассмотрении элемента круглой пластины. Для этого выделим из круглой пластины толщиной h , испытывающей распределенную нагрузку, симметричную относительно центральной оси z , двумя радиальными сечениями, составляющими между собой угол , и двумя окружными сечениями с радиусами х и х + dx элемент, заштрихованный на рис. 61 и показанный отдельно на рис. 62. Этот элемент подвергается действию не показанной на рис. 62 распределенной нагрузки, погонных поперечных сил Q и Q + d Q и погон­ных изгибающих радиальных момен­тов M_r и М _r + dM_r по окружным сечениям, а также погонных окруж­ных изгибающих моментов М _T по ра­диальным сечениям.

В силу симметрии нагрузки отно­сительно центральной оси z попереч­ные силы по радиальным сечениям отсутствуют, а погонные изгибающие моменты М _T одинаковы. На рис. 62 показаны изгибающие моменты, гну­щие пластину выпуклостью вниз. Значения моментов приняты положительными.

Для составления уравнения рав­новесия элемента изгибающие момен­ты, действующие по граням элемента, изображаются в виде векторов (рис. 63). Стрелка вектора, перпендикулярного к плоскости действия мо­мента, направлена в ту сторону, с ко­торой вращение момента представля­ется происходящим по часовой стрел­ке. Приравняем нулю сумму проекций всех сил, действующих на вырезанный элемент, на ось Т, перпендикулярную к биссек­трисе, делящей угол d q пополам.

При составлении уравнения моментов можно пренебречь ввиду малости элемента неравномерностью расположенной на нем на­грузки и моментом, вызванным приращением d Q поперечной силы в радиальном направлении. Поэтому поперечные силы, действую­щие по граням элемента, сводятся к моменту с плечом dx , который изображается вектором , параллельным оси Т. Умноже­ние всех погонных усилий на длину грани, по которой они дей­ствуют, проектирование этих усилий на ось Т и приравнивание суммы проекции нулю дает выражение

В уравнении (4.33) синус угла ввиду малости заменен углом . После сокращения на , раскрытия скобок и отбрасывания члена dM_r dx высшего порядка малости уравнение (4.33) принимает вид

или, после деления всех членов на х dx,

Подстановка в уравнение (4.34) выражений для М_к, М_Т и через по формулам (4.31) и (4.32) приводит к уравнению

Уравнение (4.35) представляет собой дифференциальное уравнение равновесия изогнутой срединной поверхности круглой пластины, выраженное через угол , составляемый касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х.

Если в этом уравнении на основании (4.28) заменить на , можно получить другой вид дифференциального уравнения относительно вертикального перемещения w

Погонная поперечная сила в круговом сечении радиусом х на основании рис. 64 при распределенной нагрузке

Интегрируя дифференциальное уравнение (4.35), можно найти уравнение углов , а затем, на основании зависимости (4.28), и уравнение прогибов w в виде функции от х. Произ­вольные постоянные, входящие в эти уравнения, находятся из граничных условий на контуре пластины или на границе двух соседних участков. При подста­новке найденных выражений для или w в уравнения (4.31) находят выражения для радиального и окружного изгибающих момен­тов в виде функции от х. По этим выражениям могут быть построены эпюры изгибающих мо­ментов и найдены их наибольшие значения.

Пусть на круглую пластину (рис. 65) действуют направленные вниз равномерно распределенная нагрузка q и центральная сила Р. По наружному контуру радиусом r приложены произвольно на­правленные распределенные погонные силы Р₀ и погонные из­гибающие моменты М₀ .

Составим уравнения углов и прогибов w. Для возможности интегрирования левую часть уравнения (4.35) необходимо преобразовать следую­щим образом:

Приравняв суммарную поперечную силу по контуру радиу­сом х, равную Q 2 p x (рис. 66), всей нагрузке, помещающейся на круге радиусом и равной Р + q × p х 2 , найдем погонную попереч­ную силу

Замена выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения (4.35) соответствующими выражениями (4.36) и (4.37), приводит к легко интегрируемому дифференциальному урав­нению

Первое интегрирование выражения (4.38) дает

Второе интегрирование выражения (4.39) дает

Уравнение (4.40) называется уравнением углов, составляе­мых касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х или уравнением углов поворота нормали к изогнутой срединной поверхности. После подстановки в уравнение (4.40) вместо j величины на основании формулы (4.28) и умножения обеих ча­стей уравнения на dx, оно получает вид

Уравнение (4.41) называется уравнением прогибов или урав­нением изогнутой срединной поверхности пластины.

4.6 Граничные условия. Наибольшие напряжения и прогибы.

Условия прочности

Так как число произвольных постоянных в уравнении (4.41) равно трем, то для нахождения постоянных С следует составить следующие три граничные условия:

— для защемленной кромки пла­стины (рис. 67,а)

1) х = r, w = 0; 2) x = r, = 0; 3) x = 0, = 0;

— для свободно опертой кромки пластины (рис. 67, б)

1) х = r, w = 0; 2) x = r, M_r = 0; 3) x = 0, = 0;

— для свободной кромки (рис. 67,в)

1) х = r, M_r = 0; 2) x = r, ; 3) x = 0, w = 0.

Дифференциальное уравнение (4.38) и его интегралы, а также выражения (4.31) справедливы и для кольцевой пластины в виде круг­лой пластины с круглым отверстием в середине (рис. 68,а) или в виде кольцевой пластины,

внутренний контур которой защемлен (рис. 68,б). Изменяются лишь граничные условия и для центральной силы Р должно быть составлено вы­ражение, отражающее изменение поперечной силы в сечении х [см. формулу (4.37)].

Например, для пластины, изображенной на рис. 68, а, граничное условие х = 0, w = 0 теряет смысл, так как при х = 0 нет пластины. Поэтому следует воспользоваться следующими тремя условиями: 1) х = b ; w = 0; 2) х = b , = 0; 3) x = a , M_r = 0. Для сосредоточенной силы получится выраже­ние

В этом выражении первый член представляет собой приложен­ную в центре и направленную вниз равнодействующую погонных сил P_a , приложенных к контуру ра­диусом а (сила Р на рис. 65), а второй член — силу, приложенную в центре и направленную вверх, ком­пенсирующую ту распределенную на­грузку, которой надо заполнить круг радиусом а, чтобы привести схему, изображенную на рис, к схе­ме, показанной на рис. 68,а. При такой замене уравнения остаются в силе и при наличии отверстия, так как коорди­наты х всегда больше а и изменение расчетной схемы при х < а на вывод этих уравнений не влияет.

Для пластины, изображенной на рис. 68,б, следует воспользоваться следующими граничными условиями:

1) х = а, w = 0; 2) х = а, = 0; 3) х = b , M_r = 0. Для сосредото­ченной силы получится выражение

Если, в частном случае, одна из нагрузок q или Р отсутствует, то в формулах (4.40) и (4.41) ее следует положить равной нулю. Например, для пластины, показанной на рис. 68,в, вы­ражение для прогиба будет

Если для отдельных участков пластины выражения попереч­ной силы различны (рис. 69), то для каждого из участков должно быть составлено свое дифференциальное уравнение. Например, для суммарной поперечной силы на первом участке пластины

на втором участке

После интегрирования каждого дифференциального уравнения получится три произвольных постоянных и общее число произ­вольных постоянных окажется равным 3п (п — число участков). Для каждой границы между двумя соседними участками могут быть составлены три дополнительных условия, выражающих то обстоятельство, что на границе двух соседних участков прогиб w , угол j и радиальный момент М _r одинаковы: 1) х = a , w ₁ = w ₂, 2) х = a , ; 3) х = а, (М _r )₁= (М _r )₂. Таких дополнитель­ных условий оказывается как раз столько, сколько недостает для нахождения всех произвольных постоянных. В разобранном при­мере при двух участках число произвольных постоянных 2 ´ 3 = 6, число условий 3 + 3 = 6.

Если известны выражения для изгибающих моментов М _r и М _T и прогибов w в функции от х, то координаты х, соответствующие наибольшим значениям этих вели­чин, найдутся из условий

В ряде случаев сечения, в ко­торых возникают наибольшие из­гибающие моменты или прогибы, известны. Например, в схеме на рис. 68,б наибольший прогиб возникает на наружном контуре при х = b , а наибольший радиальный изгибающий момент ( M_r ) _max — в защемлении при х = а.

Подставив найденные из условий (4.42) значения х в выражения для изгибающих моментов, можно получить значения ( M_r ) _max и (М_Т) _max которые, в общем случае, могут возникнуть в разных сечениях пластины. Опасное сечение может оказаться поэтому там, где погонные изгибающие моменты М _r и M_T одно­временно велики.

Главные напряжения на наружной и внутренней поверхностях пластины в опасном сечении вычисляются по формулам, анало­гичным (4.27), путем замены момента инерции на момент сопротивления:

Третье главное напряжение (по площадке, параллельной сре­динной плоскости) равно нулю. Расчетное напряжение, сравнивае­мое с допускаемым, вычисляется в зависимости от знаков напря­жений и по одной из теорий прочности. Например, для пластины, представленной на рис. 68,б, опасное сечение находится в защемлении при х = а; при этом верхние волокна и от момента М _r , и от момента М _T испытывают растяже­ние, а нижние — сжатие, изгибающий момент М _r в сечении х = а больше, чем М _T . Предполагаем, что пластина выполнена из пла­стического материала и что применяется третья теория прочности, условие прочности по которой

Волокна в точке на верхней поверхности пластины растянуты, т. е. напряжения положительны, поэтому следует обозначить:

Условие прочности примет вид

4.7 Температурные напряжения в пластинах

В общем случае температура в какой-либо точке круглой пла­стины является функцией двух переменных: радиуса х и расстоя­ния z от точки до срединной плоскости. В силу линейности основ­ных уравнений для температурных напряжений напряжения, выз­ванные радиальным изменением температуры — t_{x 2} – t_{x 1} и изме­нением температуры по толщине t ₂ – t ₁ можно вычислить от­дельно, а затем алгебраически суммировать. Ниже рассматри­ваются два случая изменения температуры: 1) температура одинакова для всех точек, рас­положенных на одинаковом рас­стоянии z от срединной плоско­сти, но меняется по толщине пластины по прямолинейному закону; 2) температура постоян­на по толщине, не зависит от полярного угла , но меняется в зависимости от расстояния х между точкой и центром пла­стины.

Случай 1. При одинаковом во всех точках одной окружности изменении температуры по толщине пластины , подчиняющемся прямолинейному закону (рис. 70), перемещение этих точек пластины, связанное с ее расширением или сжатием, происходит также одинаково по всем направлениям в плане.

В случае повышения температуры верхняя поверхность пла­стины получает большее расширение, чем нижняя, и пластина из­гибается по шаровой поверхности радиусом r выпуклостью вверх. На основании допущения о прямых нормалях можно считать, что относительная деформация (по отношению к срединному слою), происходящая на наружной поверхности в любом направлении,

С другой стороны, относительная температурная деформация отрезка длиной l на наружной поверхности по отношению к сре­динному слою

Приравняв выражения (4.43) и (4.44), можно получить формулу для определения кривизны шаровой изогнутой поверхности

Если круглая пластина не имеет закреплений или свободно поворачивается на контуре (свободно оперта), то температурное искривление не вызывает дополнительных усилий. Если же пла­стина защемлена, на контуре возникнут погонные опорные мо­менты М _r , уничтожающие кривизну, вызванную неравномерным нагревом.

При сферическом изгибе моментами М _r кривизна

Приравняв выражения (4.45) и (4.46), получим формулу для опреде­ления погонного изгибающего момента

а разделив это выражение на момент сопротивления и подставив вместо цилиндрической жесткости D ее значение из формулы (4.12), определим наибольшее напряжение:

Случай 2. Круглая пластина с центральным отверстием ра­диусом а подвергается действию температуры, имеющей радиаль­ный перепад (рис. 71).

В дальнейшем t _{( x )} обозначено для кратко­сти t . Напряженное состояние в пластине считаем плоским, т. е. полагаем = 0. В силу симметрии условий и расчетной схемы перемещения и зависят только от радиуса х, а перемещения v равны нулю. Поэтому относительные деформации

Если решить первые два уравнения (4.48) относительно и , а в третьем заменить на , можно получить

Подстановка значений (4.49) в уравнение равновесия плоской задачи в полярных координатах, принимающее в данном случае ( ) вид

приводит к следующему диф­ференциальному уравнению для радиального перемещения:

Для интегрирования этого уравнения левая его часть записы­вается так [см. аналогичное решение уравнения (4.36)]:

Первое и второе интегрирование (4.50) дает

В выражении (4.51) через х₁ обозначен переменный радиус, определяющий точки, расположенные между а и х. Если подставить это выражение в формулы (4.49), то получатся следующие выражения для температурных напряжений:

Постоянные С₁ и С₂ определяются из граничных условий на контурах пластины. Если отверстия радиусом а в пла­стине нет, то интегрирование в формулах (4.52) выполняется в пределах от нуля до х.

4.8 Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения

Мембрана обладает малой жесткостью на изгиб и поэтому обычно рассчитывается лишь на действие цеп­ных продольных усилий N _х и N _у в срединной плоскости и на вызы­ваемые ими равномерно рас­пределенные по толщине на­пряжения. Прогибы w мем­браны составляют обычно не менее пяти толщин h и в боль­шую сторону не ограничива­ются.

Реактивные усилия S на закрепленном контуре (рис. 72) направлены по касатель­ной к изогнутой срединной поверхности мембраны. Они могут быть разложены на со­ставляющие: вертикальную S_z и горизонтальную S_x . Нали­чие горизонтальной соста­вляющей реактивного усилия (распора), возникающей при действии вертикальной на­грузки, — особенность мем­браны по сравнению с пла­стиной средней толщины и плитой.

Дифференциальные уравнения изогнутой поверхности мем­браны получаются из дифференциальных уравнений (4.26) для пластины, у которой прогиб превышает половину толщины, если положить в них цилиндрическую жесткость D равной нулю. Так как в выражении цилиндрической жесткости модуль упруго­сти Е нулю не равен, она будет равна нулю, если дробь можно считать пренебрежимо малой.

Функцию прогибов w и функцию напряжений в мембране можно найти из системы двух уравнений

Уравнения (4.53) решаются приближенно. Если функция найдена, выражения для растягивающих цепных усилий N_x и N_y в мембране могут быть вычислены по формулам

а соответствующие цепные напряжения найдены из выражений

Изгибающие и крутящие моменты, а также перерезывающие силы и соответствующие им напряжения в мембране отсутствуют.

4.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране

При выводе приближенных формул предполагается, что защем­ленная на контуре мембрана радиусом а и толщиной h (рис.72) изгибается, образуя шаровую поверхность, и что нагрузка q действует по нормали к этой изогнутой поверхности. При этих условиях усилия N и напряжение (рис. 73,а)

по кромкам элемента, вырезанного из мембраны двумя взаимно перпендику­лярными сечениями, окажутся одинаковыми. При размерах эле­мента, равных единице,

Согласно уравнению равновесия сумма проекций нагрузки и усилий, действующих по кромкам элемента на нормаль z к по­верхности элемента

Центральный угол выражаем через длину дуги кромки эле­мента и радиус кривизны . Замена в уравнении (4.56), ввиду малости ,

— для кривизны . (4.57)

Тогда для напряжения из формулы (4.55) получим

Приближенное дифференциаль­ное уравнение изогнутой средин­ной поверхности на основании за­висимости (4.57)

Величина прогиба в середине мембраны получается на основа­нии закона сохранения энергии

U = A . (4.59)

где U – потенциальная энергия деформации мембраны;

A – работа внешних сил на перемещениях, вызван­ных деформацией мем­браны.

Потенциальная энергия мембраны

где удельная потенциальная энергия деформации с учетом того, что на основании закона Гука

может быть выражена через напряжение следующим образом:

Тогда, на основании формулы, (4.58)

Зависимость между радиусом кривизны и прогибом w ₀ в сере­дине мембраны (рис. 73,б)

или после возведения скобки в квадрат и отбрасывания как величины высшего порядка малости

Подстановка этого значения в формулу (4.61) и значения и в фор­мулу (4.60) дает выражение для потенциальной энергии

Работа А внешних сил получится как интеграл, взятый по площади мембраны, половины произведения элементарной силы qdxdy на прогиб w (ху):

Интеграл в выражении (4.64) представляет собой объем V _ш.с. шарового сегмента с высотой w ₀ и радиусом а:

или, если отбросить ,

Поэтому выражение (4.64) примет вид

При подстановке значений (4.63) и (4.65) в выражение (4.59), получаем

Тогда прогиб в середине мембраны

Для стальной мембраны при = 0,3 прогиб

Точное решение, полученное путем интегрирования дифференциаль­ных уравнений (4.53), дает

Нормальное напряжение получается, если в формулу (4.58) подставить r из формулы (4.62) и w ₀ из формулы (4.66):

Точное решение на базе системы (4.53) дает выра­жение

4.10 Примеры

Пример 4.1. Определить нормальные напряжения и в точке на верхней поверхности прямоугольной пластины, испытывающей изгиб от мо­ментов М = 0,014 Мнм, распределенных по кромках AD и ВС (рис. 74). Опре­делить радиус кривизны изогнутой срединной поверхности и наибольший прогиб w . Е = 2 Мн/м 2 ; = 0,27.

Решение.

Отношение сторон пластины Следова­тельно, напряжения в средней части пролета можно вычислить по формулам цилиндрического изгиба.

Погонный изгибающий момент по кромкам AD и ВС

Напряжения по формулам (4.21) и (4.22)

Такие же напряжения будут во всех точках верхней поверхности в пределах цилиндрического изгиба.

Кривизна срединной поверхности по формулам (4.15) и (4.19)

поэтому дифференциальное уравнение изо­гнутой срединной поверхности

Два последовательных интегрирова­ния дифференциального уравнения дают

Условия для определения произволь­ных постоянных: 1) х = 0, w = 0 (про­гиб по кромке AD отсутствует); 2) х = 0,30 м, (касательная к изогну­той срединной поверхности в середине пролета горизонтальна). Из первого усло­вия следует, что С₂ = 0. Из второго условия откуда

Подставляя найденные значения С₁ и С₂ в уравнение прогибов (4.67), получаем

Наибольший прогиб при х = 0,30 м

Пример 4.2. Для заданной схемы круглой пластины (рис. 75,а) построить эпюру погонных радиальных изгибающих моментов. Коэффициент поперечной деформации m = 0,13; модуль продольной упругости Е = 2 н/см 2 .

Заданная схема отличается от схемы, для которой выведены фор­мулы (4.40) и (4.41), тем, что на окружности радиусом а = 30 см нет равномерно распределенной нагрузки. Если эту нагрузку приложить, то для сохра­нения заданных условий нужно уравновесить ее аналогичной нагрузкой, при­ложенной снизу (рис. 75,б), которую можно заменить равнодействующей сосре­доточенной силой на оси симметрии пластины. Кроме того, на этой оси действует реакция R , равная весу нагрузки, лежащей на пластине,

Полная сосредоточенная сила на оси пластины

Знак минус введен потому, что сила Р направлена снизу вверх.

Таким образом, выражения (4.40) и (4.41) для и w могут быть исполь­зованы для схемы на рис. 75,а, если вместо Р подставить в них выражение (4.68). Интенсивность нагрузки q = 4000 н/м 2 = 0,4 н/см 2 .

Уравнение углов поворота

В формулу (4.31) для радиального момента входит

При подстановке этих выражения в формулу (4.31) получаем

Условия для определения произвольных постоянных: 1) х = а, j = 0; 2) х = b , M_r = 0. Из первого условия

После выполнения арифметических действий

Из второго условия

После выполнения арифметических действий

Совместное решение уравнения (4.69) и (4.70) дает значения произвольных постоянных:

Подставив значения D и найденные значения произвольных постоянных в выражение для изгибающего момента M_r , получим

Подставляя последовательно значения х через 20 см в это уравнение, можно найти значения радиальных моментов (табл. 3). По этим ординатам построена эпюра радиальных моментов (рис. 75,в).