422. Лежат ли точки A, В, С и D в одной плоскости, если: а) А (-2; -13; 3), В(1; 4; 1), С (- 1; — 1; -4), D (0; 0; 0); б) А (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D (2; 0; 3); в) A (5; -1; 0), В (-2; 7; 1), С (12; -15; -7), D(1; 1; -2)?
По определению векторы DA, DB и DC компланарны. Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. б) Определим координаты предполагаемых векторов:
Признак компланарности векторов в координатах:
Система не имеет решений, следовательно, условие компланарности векторов не исполняется, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. в) Рассмотрим векторы:
Признак компланарности векторов
в координатах x, y, z:
Подставляя эти значения в третье уравнение, получаем равенство:
Следовательно, векторы компланарны при
При этом все три вектора отложены из одной точки, значит, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.
Источник:
Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №422
к главе «Глава V. Метод координат в пространстве. § 1. Координаты точки и координаты вектора.».
Лежат ли точки в одной плоскости? Как это проверить?
Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A,B,C,D
Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A,B,C,D, и найти линейную зависимость векторов AB от AC.
Две точки на плоскости заданы своими координатами. Проверить, лежат ли они в одной координатной четверти
две точки на плоскости А(х1;у1) и В(х2;у2) задано своими координатами. Проверить, лежат ли эти.
Как пользуясь рангом матрицы определить лежат ли четыре точки трёхмерного пространства в одной плоскости
Как пользуясь рангом матрицы определить лежат ли четыре точки трёхмерного пространства в одной.
Лежат ли точки на одной плоскости
У тривимірному просторі задається n точок(3<=n<=100). Визначити, чи належать вони одній площині.
Любитель математики
1476 / 987 / 282
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 3,275
Jessy James, можно, например, вычислить смешанное произведение векторов Если оно равно нулю, то рассматриваемые точки лежат в одной плоскости.
Регистрация: 24.06.2013
Сообщений: 386
angor6, Хорошо. А какие то ещё есть способы?
Любитель математики
1476 / 987 / 282
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 3,275
Jessy James, можно проверить, является ли один из этих векторов линейной комбинацией двух других. Если является, то точки лежат в одной плоскости.
Регистрация: 24.06.2013
Сообщений: 386
angor6, А как узнать, принажлежат ли 2 прямые одной плоскости?
L1: x=y=z
L2: x=2+t y=-t z=3t
Если записать их в каноническом виде
671 / 474 / 215
Регистрация: 06.09.2013
Сообщений: 1,301
Jessy James, в случае точек проще всего посчитать определитель:
, это тоже самое, что
Сообщение от angor6 
вычислить смешанное произведение векторов
Любитель математики
1476 / 987 / 282
Регистрация: 27.01.2014
Сообщений: 3,275
Jessy James, если две прямые пересекаются или параллельны, то они принадлежат одной плоскости.
671 / 474 / 215
Регистрация: 06.09.2013
Сообщений: 1,301
Сообщение от Jessy James
А как узнать, принажлежат ли 2 прямые одной плоскости?
Можно найти расстояние между ними, если оно равно нулю — значит на одной плоскости.
Хотя нет, это неправда.
Значит проверять на пересечение.
Добавлено через 11 минут
Получится система уравнений:
Она вроде бы не совместна, направляющие вектора не параллельны, значит прямые не лежат в одной плоскости.
4927 / 3547 / 1147
Регистрация: 01.09.2014
Сообщений: 9,626
woldemas, вы пишете, что определитель из координат трех точек — это то же самое, что вычислить смешанное произведение векторов. Каких именно векторов? Ведь векторы в сообщении 2 строятся по четырем точкам. А три точки всегда лежат на одной плоскости.
Jessy James, чтобы определить, лежат ли четыре точки в трехмерном пространстве на одной плоскости, можно вычислить определитель 4×4, составленный из координат точек, к которым добавлена четвертая координата 1. Например, для точки A(1; 0; 2) используется строчка 1 0 2 1. Точки лежат на одной плоскости тогда и только тогда, когда определитель равено нулю.
671 / 474 / 215
Регистрация: 06.09.2013
Сообщений: 1,301
Сообщение от 3D Homer
. Каких именно векторов? Ведь векторы в сообщении 2 строятся по четырем точкам. А три точки всегда лежат на одной плоскости.
Там одна из точек имеет нулевые координаты, если принять ее за начало для трех векторов проведенных к остальным точкам, можно просчитать определитель, в котором стоят координаты точек (но на самом деле это координаты радиус-векторов). Я думал это очевидно, поэтому и не стал особо расписывать.
Добавлено через 20 минут
А что касается условия принадлежности прямых одной плоскости, то определитель матрицы 3 на 3 составленной из направляющих векторов прямых и вектора соединяющего две любые точки на прямых должен равняться 0.
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь
Лежат ли точки в одной плоскости?
На плоскости XOY даны три точки A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Выяснить, лежат ли они в одной и.
Лежат ли 4 точки в одной плоскости.
Помогите пожалуйста решить, лежат ли точки А(5,3,1), В(-3,2,3), С(3,8,6) и D(-3,1,2) в одной.
Определить, лежат ли три точки плоскости на одной прямой
Задача: Написать программу, определяющую, лежат ли три точки плоскости на одной прямой! Точки и.
Определить, лежат ли три точки плоскости на одной прямой
Помогите, пожалуйста с задачей! Написать программу, определяющую, лежат ли три точки плоскости на.
Или воспользуйтесь поиском по форуму:
как определить лежат ли 4 точки в одной плоскости? по математике на экзамене встретилось не смог решить
Просто посчитай объем тетраэдра. Если равен нулю, точки в одной плоскости.
Тут внутри смешанное произведение векторов.
Остальные ответы
Составляешь из них 3 вектора.
Если их смешанное произведение (определитель, составленный из координат вектора) равен нулю, то все точки лежат на одной плоскости. Иначе — не лежат.
Если три вектора AB, AC, AD компланарны, то это
означает, что точки A,B,C,D лежат в одной плоскости.
Надо составить из этих векторов смешанное произведение.
Если оно равно 0, то точки в одной плоскости.
Замечание к ответу «Какое время. » — не четыре, а три вектора.
Уравнение плоскости можешь написать, если известны три точки?
Подставь четвёртую точку, вместо x,y,z, если выполняется равенство, то в плоскости, если нет, то нет.
Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если. Вопросы и задачи 422, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.
Привет. Поможете с решением?
Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если:
а) А (-2; -13; 3), В (1; 4; 1), С (-1; -1; -4), D (0; 0; 0);
б) А (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D (2; 0; 3);
в) А (5; -1; 0), В (-2; 7; 1), С (12; -15; -7), D (1; 1; -2)?
Лучший ответ
Сусана Маноева
Пожаловаться
Привет. Естественно поможем
Рассмотрим векторы DA. DB, DC.
а) Вычислим координаты векторов DA, DB и DC
Запишем равенство 
в координатах (условие компланарности)
Получаем равенство: 
Признак компланарности векторов выполняется 
По определению векторы DA, DB и DC компланарны. Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости,
б) Определим координаты предполагаемых векторов:
Признак компланарности векторов в координатах.
Система не имеет решений, следовательно, условие компланарности век- торов не исполняется, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости,
в) Рассмотрим векторы:
Признак компланарности векторов 
в координатах х, у, z:
Подставляя эти значения в третье уравнение, получаем равенство: 
Следовательно, векторы компланарны при m = 1. 
При этом все три вектора отложены из одной точки, значит, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.