Пересечение прямой и конуса

4.2. Пересечение прямой линии с поверхностью конуса

Задача. Найти точки пересечения прямой АВ с прямым круговым конусом (рис. 22).

Заданная прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций, поэтому задача имеет два решения.

1. Прямую заключаем в горизонтальную плоскость.
2. Находим её сечение с конусом в виде круга на горизонтальной плоскости проекций.
3. Пересечение прямой с окружностью даст две точки К и F.

Это решение подходит и для прямой общего положения.

1. Плоскость (общего положения) проводится через две точки прямой АС и вершину конуса.
2. Находим след плоскости ASC. Для этого ищем следы прямых SA и SC – это точки М₁ и М₁ 1 , проводим горизонтальный след секущей плоскостью.
3. Линия пересечения следа плоскости с основанием конуса даст две точки D и E. Соединяя их с вершиной, получим сечение конуса в виде треугольника, а на нём — точки пересечения К и F прямой с поверхностью конуса.

4.3 Пересечение тел

Пересечение двух поверхностей находят:

1. Способом вспомогательных секущих плоскостей – проецирующими плоскостями или плоскостями общего положения.

2. Способом сфер или шаровых поверхностей.

Выбор положения вспомогательных плоскостей (посредников) определяется положением данных геометрических тел, необходимо стремиться к получению сечений простейшего вида.

В зависимости от расположения тел по отношению к плоскостям проекций точки пересечения можно получить непосредственно на одной из проекций, и в первую очередь находят характерные (опорные ) точки искомой линии пересечения. К таким точкам можно отнести:

— точки, проекции которых лежат на проекциях контурных линий одной из поверхностей;

— на крайних рёбрах;

— точки, расположенные на главном меридиане, в экваторе шара или образующих, а также крайние точки — правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удалённые от плоскостей проекций.

Все остальные точки линии пересечения поверхностей называются промежуточными.

Конус с призматическим вырезом

Задача. Построить недостающие проекции конуса со сквозным призматическим вырезом и натуральную величину сечения проецирующей плоскостью (рис.23).

Пересечение кривых поверхностей прямой линией

На рис. 386 слева показано пересечение прямой линии с некоторой цилиндрической поверхностью. Эта поверхность задана ее следом на пл. π₁ — кривой MN и направлением образующей — прямой МТ. Через прямую АВ проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость β, пересекающая данную цилиндрическую поверхность по кривой, построенной по точкам, в которых образующие поверхности пересекают пл. β. В пересечении полученной кривой с заданной прямой АВ находим точку К, в которой прямая АВ пересекает цилиндрическую поверхность.

Этот прием является общим для построения точек пересечения прямой с любой поверхностью: через прямую следует провести вспомогательную плоскость,

найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью; точка пересечения заданной прямой и построенной линии на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с поверхностью.

Здесь полная аналогия с построением точки пересечения прямой линии с плоскостью (см. §§ 22, 25).

Построение, показанное на рис. 386 слева, конечно, упрощается, если (рис. 386, справа) вспомогательная пл. γ параллельна образующей МТ: поверхность оказывается пересеченной по прямой, параллельной МТ и определяемой по одной точке L. Это один из возможных частных случаев, а именно данная прямая АВ лежит в плоскости, параллельной образующей МТ.

Иногда показ вспомогательной плоскости излишен. Примеры даны на рис. 387: прямой круговой цилиндр, ось которого перпендикулярна к пл. π₁, и конус при таком же положении его оси. Горизонтальная проекция точки пересечения прямой АВ, перпендикулярной к пл. π₁ с боковой поверхностью прямого кругового конуса совпадает с горизонтальной проекцией

самой прямой. Проведя горизонтальную проекцию образующей ST и построив ее фронтальную проекцию S»T», находим фронтальную проекцию К» искомой точки.

Вспомогательную плоскость, проводимую через прямую при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы получились простейшие сечения.

Например, при пересечении конической поверхности прямой линией такой плоскостью является плоскость, проходящая через вершину и, следовательно, пересекающая эту поверхность по прямым линиям. При пересечении цилиндрической поверхности прямой линией целесообразно проводить вспомогательную плоскость через данную прямую параллельно образующим этой поверхности; при пересечении так проведенной плоскости с цилиндрической поверхностью получаются прямые линии.

Пример с конусом дан на рис. 388, где точки пересечения найдены при помощи пл. α, определяемой вершиной конуса и данной прямой.

Для построения образующих, по которым пл. α пересекает конус, надо найти еще по одной точке для каждой образующей, кроме точки S. Эти точки могут быть

найдены в пересечении следа пл. α, полученного на плоскости основания конуса, с окружностью этого основания. На рис. 388 плоскость основания конуса принята за плоскость проекций π₁; поэтому след плоскости обозначен h’_0α. Для его построения взята вспомогательная прямая SC — горизонталь пл. α и найден горизонтальный след прямой АВ. След h’_0αпроходит через точку М’ параллельно проекции S’C’. Через точки 1’1″ и 2’2″ пройдут искомые образующие. Точки К₁ и К₂ являются точками входа и выхода при пересечении прямой АВ с поверхностью конуса.

Если дан усеченный конус (рис. 389), а фронтальную проекцию вершины нельзя построить, то можно взять точку N» как фронтальную проекцию точки пересечения данной прямой АМ₁ с некоторой вспомогательной прямой, проходящей через вершину S; найдя проекцию N’, строим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой SM₂ (используя точку S’). Дальнейшее ясно из чертежа.

На рис. 390 показано построение точек К и М, в которых отрезок АВ пересекает сферу радиуса R. Применен способ перемены плоскостей проекций.

Прежде всего через АВ проведена горизонтально-проецирующая пл. π₃ (след на пл. π₁ совпадает с проекцией А’В’). Она пересекает сферу по окружности, радиус которой R₁ равен отрезку С’1′. Принимая эту же пл. π₃ за дополнительную плоскость проекций, образующую с пл. π₁ систему π₃, π₁, строим проекцию А'»В'» отрезка

АВ (А’А'» = А»2″, В’В'» = В»3″) и проекцию окружности, по которой плоскость π₃ пересекает сферу. Проекцию центра С» находим, откладывая С»‘С’ = О»4″, и из С'» проводим радиусом R₁, дугу так, чтобы получить точки К'» и М'» (проведение радиусом R₁ окружности целиком излишне). По этим точкам сначала находим проекции К’ и М’, а по ним — проекции К» и М».

Еще один пример построения точек пересечения прямой линии с поверхностью, ограничивающей некоторое тело вращения, дан на рис. 391. Помимо двух плоскостей, тело ограничено двумя цилиндрическими поверхностями вращения и переходной между ними частью — поверхностью кругового кольца. В точке К₁ прямая пересекает цилиндрическую поверхность и далее пересекает в точке К₂ поверхность кругового кольца. Для построения проекций этой точки найдена кривая с проекциями l’2’З’, 1″2″3″, полученная при пересечении поверхности кольца плоскостью β, проведенной через прямую АВ перпендикулярно к пл. π₁. Кривая построена по точкам при помощи параллелей; на рисунке показаны две, отмеченные точками М и N. Далее, прямая вновь пересекает поверхность кольца в точке К₃ и выходит за пределы поверхности через точку К₄.

Теперь обратим внимание на построение, показанное на рис. 392. Здесь изображен наклонный цилиндр с круговым основанием. Для построения точек пересечения поверхности цилинд-

pa прямой линией АВ проводим пл. α, определяемую, помимо прямой АВ, дополнительной прямой ВМ₁ проведенной через точку В параллельно образующим цилиндра. Такая плоскость пересекает цилиндр по его образующим. Если найти горизонтальные следы прямых, определяющих плоскость, то может быть проведен горизонтальный след пл. α. Отметив точки 1′ и 2′ в пересечении следа h’_0α, с основанием цилиндра (оно расположено в пл. π₁) проводим через эти точки прямые параллельно горизонтальной проекции образующей цилиндра и отмечаем точки К’₁ и К’₂ — горизонтальные проекции точек пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра. Далее находим точки К’₁ и К₂.

Такое построение можно также представить как косоугольное проецирование цилиндра и прямой АВ на плоскость проекций π₁. Проецирование проводится по направлению, параллельному образующей цилиндра. Точка М прямой АВ расположена в пл. π₁; точка М₁ является косоугольной проекцией точки В, построенной на пл. π₁. Прямая М’М’₁ является косоугольной проекцией прямой АВ на пл. π₁. Цилиндр же проецируется на эту плоскость в свое основание. Дальнейшее ясно из чертежа.

При решении задачи на пересечение поверхности прямой линией может оказаться, что данная прямая не пересекает, но лишь касается кривой, ограничивающей фигуру, получаемую при пересечении данной поверхности плоскостью, проведенной через прямую. В этом случае прямая является касательной к данной поверхности. Вообще, если требуется определить, как прямая расположена относительно поверхности, надо через прямую провести плоскость, пересекающую поверхность, и рассмотреть взаимное положение прямой и фигуры, полученной при пересечении поверхности плоскостью.

В данном параграфе рассмотрен вопрос о построении точек, получаемых при пересечении кривой поверхности прямой линией. Общим приемом является: 1) проведение через заданную прямую некоторой плоскости, 2) построение линии пересечения поверхности этой плоскостью, 3) нахождение точек пересечения построенной линии с заданной прямой.

А как надо поступать, если некоторая поверхность должна быть пересечена не прямой линией, а какой-либо плоской кривой? Очевидно, изложенный прием применим и в этом случае, причем плоскостью, проводимой через линию, здесь служит плоскость, в которой лежит сама плоская кривая.

Вопросы к §§ 58-59

1. Какая линия получается при пересечении сферы любой плоскостью и какими могут быть проекции этой линии?
2. В чем заключается способ построения сечения тора плоскостью?
3. Как должны быть направлены плоскости; рассекающие тор по окружностям?
4. Как называются кривые, получаемые при переселении тора плоскостью, параллельной оси тора? В каком случае эти кривые становятся овалами Кассини и в каком случае получается лемниската Бернулли?
5. Что понимается под названием «кривая среза»?
6. В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью?
7. Как провести вспомогательную секущую плоскость при пересечении конуса прямой линией, чтобы получить на поверхности конуса прямые линии?
8. Можно ли применить косоугольное проецирование в случае пересечения прямой линией цилиндра, образующие которого не перпендикулярны к плоскости проекций?

Пересечение прямой с конусом

Пересечение прямой с конусом — это задача по определению точек встречи прямой с поверхностью конуса. Поверхность конуса состоит: — боковой поверхности представляющей собой поверхность вращения; — поверхности основания представляющей собой окружность .

Пересечение прямой с конусом: d ∩ α.

Пересечение прямой с конусом

Здесь прямая d занимают общее положение и поверхность прямого кругового конуса α формируется прямыми из вершины S. Решать задачу на пересечение прямой с конусом следует, применяя алгоритм пересечения прямой с поверхностью: — Заключаем прямую d в вспомогательную плоскость γ, которая также проходит через вершину конуса S; — Находим точки пересечения этой плоскости с основанием конуса, для чего строим горизонтальный след плоскости — γ_H по следам прямых n_H и m_H: γ_H ∩ α_H = A`, B`. Соединив полученные точки с вершиной конуса S` прямыми линиями, находим линии пересечения этой плоскости с боковой поверхностью конуса S`A`, S`B`, которые пересекаются с прямой d: — S`A` ∩ d` = E` ⇒ E»; — S`B` ∩ d` = K` ⇒ K».

Пересечение прямой с конусом — это задача по определению видимости: — для горизонтальной плоскости проекций производим с помощью конкурирующих точек: — перемещаясь вверх по линиям связи точек пересечения α_H и прямой d` находим, что соответствующие точки прямой d» находится выше основания конуса α»<sub>H</sub>, а это означает что соответствующие им точки прямой d` на горизонтальной плоскости проекций видимы. — для фронтальной плоскости проекций производим исходя из того, что образующие находящиеся: — за очерковыми образующими не видимы; — перед очерковыми образующими видимы. Образующие S`A` и S`B` находятся перед очерковыми образующими и следовательно они видимы.

Пересечение геометрических тел прямой.

При пересечении прямой с поверхностью тела получаются две точки, одновременно принадлежащие как прямой, так и поверхности тела. Эти точки называются точками входа и выхода .
Для нахождения этих точек в общем случае поступают так:
1) проводят через данную прямую проектирующую плоскость;
2) находят фигуру сечения данной плоскостью;
3) определяют точки пересечения прямой с контуром сечения.
Разберем сказанное на примере (фиг.323). Надо найти точки пересечения прямой d с поверхностью неправильной пирамиды.

Проведем через прямую d фронтально — проектирующую плоскость δ . Проекция δ₂ совпадает с фронтальной проекцией δ₂ .
В сечении получим четырехугольник, его горизонтальная проекция C₁D₁E₁F₁ выявится четырехугольником, а фронтальная ( C₂F₂D₂E₂ ) — отрезком прямой, сливающимся с проекцией δ₂ (фиг.323,а).
Пересечения горизонтальной проекции d₁ прямой с проекциями C₁F₁ и D₁E₁ сторон четырехугольника — точки М₁ и N₁ — являются горизонтальными проекциями точек пересечения прямой d с поверхностью пирамиды. Фронтальные проекции М₂ и N₂ находят при помощи вертикальных линий связи (фиг.323,б).

В тех частных случаях, когда грани тела или поверхность тела вращения перпендикулярны одной из плоскостей проекцией, применять вспомогательные проектирующие плоскости нецелесообразно, так как одна из проекций точек входа и выхода уже выявлена на чертеже.
На (фиг.324,а) даны проекции прямой призмы и прямой d , которая пересекает верхнее основание призмы и ее боковую грань BCED ( B₁C₁E₁D₁ и B₂C₂E₂D₂ ). Точка К₂ является фронтальной проекцией пересечения основания; точка М₁ — горизонтальной проекцией пересечения грани BCED данной линией. Горизонтальная проекция К₁ и фронтальная проекция М₃ точек пересечения находятся при помощи вертикальных линий связи (фиг.324,б). На (фиг.325) показан пример пересечения прямой d с поверхностью прямого кругового цилиндра.
Точки С₂ и D₂ выявлены как фронтальные проекции точек пересечения; горизонтальные проекции С₁ и D₁ найдены при помощи вертикальных линий связи.
В тех частных случаях, когда прямая, пересекающая поверхность тела, перпендикулярна одной из плоскостей проекций, определение проекций точек пересечения аналогично предыдущему.
На (фиг.326) показан пример такого случая. Прямая f , пересекающая поверхность пирамиды, перпендикулярна плоскости проекций П₁ .
Горизонтальная проекция точки пересечения выявлена на чертеже точкой C₁ сливающейся с горизонтальной проекцией f₁ прямой; фронтальная проекция С₂ найдена посредством вспомогательной прямой SD .
Несколько иначе решается задача определения проекций точек пересечения прямой с ша-ровой поверхностью.
На (фиг.327) показано такое решение. Прямая d общего положения пересекает шаровую поверхность; для определения точек пересечения, кроме проектирующей плоскости, применен метод перемены плоскостей проекций.

Проведем через прямую d горизонтально-проектирующую плоскость δ . Проекция δ₁ совпадает с горизонтальной проекцией d₁ . В сечении получим окружность.
Примем плоскость δ за новую плоскость проекций и спроектируем на нее прямую и окружность сечения; так как прямая и сечение лежат в плоскости δ , то они спроектируются на нее в натуральную величину.
Новая проекция d₄ прямой пересекает контур фигуры сечения — окружность — в точках C₄ и D₄ ; они являются искомыми точками пересечения (фиг.327,а). Обратным проектированием сначала находим горизонтальные проекции C₁ и D₁ искомых точек пересечения, а затем соответствующие им фронтальные проекции С₂ и D₂ (фиг.327,б).
Нахождение точек пересечения прямой общего положения с поверхностью конуса решается при помощи вспомогательной плоскости, проходящей через заданную прямую и вершину конуса.
Для примера возьмем прямой круговой конус и прямую d общего положения, пересекающую его коническую поверхность (фиг.328). Для определения точек пересечения достаточно вершину конуса S соединить прямой с произвольной точкой Q , находящейся на прямой d , найти горизонтальный след этой прямой и данной прямой d .
Соединяя проекции следов М₁ и М₁ 1 прямой, получим проекцию k₁ горизонтального следа k вспомогательной плоскости а, которая пересечет конус по двум образующим SC и SD (фиг.328,а).

Пересечение горизонтальной проекции d₁ с проекциями образующих дает горизонтальные проекции E₁ и F₁ искомых точек. Затем при помощи линий связи находим фронтальные проекции E₂ и F₂ (фиг.328,б).