В любом замкнутом контуре разветвленной электрической цепи алгебраическая сумма произведений сил
Перейти к содержимому

В любом замкнутом контуре разветвленной электрической цепи алгебраическая сумма произведений сил

  • автор:

В любом замкнутом контуре разветвленной электрической цепи алгебраическая сумма произведений сил

Г. Кирхгоф (1824–1887) детально исследовал закон Ома и разработал общий метод расчета постоянных токов в электрических цепях, в том числе содержащих несколько источников ЭДС. Этот метод основан на двух правилах, называемых законами Кирхгофа. Первое правило Кирхгофа относится к узлам, то есть точкам, в которых сходится не менее трех проводников. Так как мы рассматриваем случай постоянных токов, то в любой точке цепи, в том числе в любом узле, имеющийся заряд должен оставаться постоянным, поэтому сумма притекающих к узлу токов должна быть равна сумме вытекающих. Если условиться считать подходящие к узлу токи положительными, а исходящие – отрицательными, то можно сказать, что алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю:

где n – число проводов, сходящихся в узле.

Второе правило Кирхгофа относится к произвольным замкнутым контурам, которые можно выделить в данной разветвленной цепи. Рассмотрим произвольно замкнутый контур АВСА (рис. 3.4). Направление токов неразветвленных участков можно задать произвольным. Запишем закон Ома для каждого из неразветвленных участков контура АВ, ВС и СА. Обозначим потенциалы узлов через , тогда:

Сложим почленно все три уравнения, получим:

Можно получить это же соотношение, если условиться, обходя контур в определенном направлении, например, по часовой стрелке, считать положительными те токи, направление которых совпадает с направлением обхода и отрицательными – те, направление которых противоположно направлению обхода. Так же положительными будем считать те ЭДС, которые повышают потенциал в направлении обхода контура и отрицательными – те, которые понижают потенциал в направлении обхода.

Эти рассуждения могут быть применены к любому замкнутому контуру, поэтому второе правило Кирхгофа в общем виде можно записать следующим образом:

где n – число участков в контуре, а m – число источников ЭДС. Во втором правиле Кирхгофа находит выражение то очевидное обстоятельство, что при полном обходе контура мы возвращаемся в исходную точку с тем же самым потенциалом.

Таким образом, в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной цепи проводников, алгебраическая сумма произведений сил токов, текущих через сопротивления соответствующих участков цепи, равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвленных цепей упрощается, если пользоваться правилами Кирхгофа. Первое правило относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходится более чем два тока. Токи, текущие к узлу, считается имеют один знак (плюс или минус), от узла — имеют другой знак (минус или плюс).

Первое правило Кирхгофа является выражением того факта, что в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды и формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома на разветвленные электрические цепи.

Рассмотрим произвольный замкнутый контур в разветвленной цепи (контур 1-2-3-4-1) (рис. 1.2). Зададим обход контура по часовой стрелке и применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома.



Сложим эти выражения, при этом потенциалы сокращаются и получаем выражение

В любом замкнутом контуре произвольной разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений (произведений сил токов на сопротивление) соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме эдс входящих в контур.

При решении задач рекомендуется следующий порядок:

  1. Произвольно выбрать и обозначить на чертеже направление токов во
    всех участках цепи.
  2. Записать уравнение для всех n-1 узлов.
  3. Выделить произвольный контур в цепи и выбрать направление обхода.
    Записать второе правило Кирхгофа.

В любом замкнутом контуре разветвленной электрической цепи алгебраическая сумма произведений сил

Для упрощения расчетов сложных электрических цепей, содержащих неоднородные участки, используются правила Кирхгофа , которые являются обобщением закона Ома на случай разветвленных цепей.

В разветвленных цепях можно выделить узловые точки ( узлы ), в которых сходятся не менее трех проводников (рис. 1.10.1). Токи, втекающие в узел, принято считать положительными; вытекающие из узла – отрицательными.

Рисунок 1.10.1.

Узел электрической цепи. 1, 2 > 0; 3, 4 < 0

В узлах цепи постоянного тока не может происходить накопление зарядов. Отсюда следует первое правило Кирхгофа :

Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю:

1 + 2 + 3 + . + = 0.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.

В разветвленной цепи всегда можно выделить некоторое количество замкнутых путей, состоящих из однородных и неоднородных участков. Такие замкнутые пути называются контурами . На разных участках выделенного контура могут протекать различные токи. На рис. 1.10.2 представлен простой пример разветвленной цепи. Цепь содержит два узла и , в которых сходятся одинаковые токи; поэтому только один из узлов является независимым ( или ).

Рисунок 1.10.2.

Пример разветвленной электрической цепи. Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два независимых контура (например, и )

В цепи можно выделить три контура , и . Из них только два являются независимыми (например, и ), так как третий не содержит никаких новых участков.

Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома.

Запишем обобщенный закон Ома для участков, составляющих один из контуров цепи, изображенной на рис. 1.10.2, например, . Для этого на каждом участке нужно задать положительное направление тока и положительное направление обхода контура . При записи обобщенного закона Ома для каждого из участков необходимо соблюдать определенные «правила знаков», которые поясняются на рис. 1.10.3.

Рисунок 1.10.3.

«Правила знаков»

Для участков контура обобщенный закон Ома записывается в виде:

Складывая левые и правые части этих равенств и принимая во внимание, что , получим:

Аналогично, для контура можно записать:

22 + 33 = 2 + 3.

Второе правило Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура .

Первое и второе правила Кирхгофа, записанные для всех независимых узлов и контуров разветвленной цепи, дают в совокупности необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчета значений напряжений и сил токов в электрической цепи. Для цепи, изображенной на рис. 1.10.2, система уравнений для определения трех неизвестных токов 1, 2 и 3 имеет вид:

11 + 22 = – 12,
22 + 33 = 2 + 3,
1 + 2 + 3 = 0.

Таким образом, правила Кирхгофа сводят расчет разветвленной электрической цепи к решению системы линейных алгебраических уравнений. Это решение не вызывает принципиальных затруднений, однако, бывает весьма громоздким даже в случае достаточно простых цепей. Если в результате решения сила тока на каком-то участке оказывается отрицательной, то это означает, что ток на этом участке идет в направлении, противоположном выбранному положительному направлению.

Курс лекций, модуль 5

§23. Разветвлённые электрические цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвлённых цепей, например нахождение токов в отдельных ветвях, значительно упрощается, при пользовании правилами Кирхгофа.

Узлом разветвлённой цепи называется точка, в которой сходятся три или более проводника. Ток текущий к узлу считается имеющим знак (+ I ), из узла – знак (– I ).

Ветвью электрической цепи – называется участок цепи вдоль которого проходит один и тот же ток.

Первое правило Кирхгофа относится к узлам разветвлённых цепей.

Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна 0.

Первое правило Кирхгофа вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счёте, из закона сохранения заряда.

Первое правило Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но независимыми являются только ( N – 1) уравнения, N -е будет следствием из них.

Второе правило Кирхгофа относится к любому, выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру.

Контур – любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по любым ветвям цепи.

Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

Для доказательства рассмотрим контур:

Пусть обход контура совершается по часовой стрелке: тогда для каждого участка согласно, закон Ома:

Таким образом, второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.

Составление системы уравнений

Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему уравнений, из которых могут быть найдены, например, все неизвестные токи.

По 1 и 2 правилам Кирхгофа уравнений нужно составлять столько, сколько неизвестных величин, но надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других.

По 1 правилу Кирхгофа следует для цепи из N узлов записать ( N – 1) независимых уравнений. По второму правилу Кирхгофа составлять уравнения только для независимых контуров.

Независимыми контурами являются те, которые нельзя составить наложением уже рассмотренных контуров. Число независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа оказывается равным числу наименьших разрывов, которые нужно сделать, чтобы нарушить все контуры. Для такого контура (рис. 23.2) число независимых уравнений, составленных по 2-ому правилу Кирхгофа – 3.

При составлении уравнений по правилам Кирхгофа необходимо поступать так:

  1. Произвольным образом выбрать направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи. Если при расчётах искомый ток получается отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному.
  2. Выбрать направление обхода контура. Произведение Ii×Riсчитается положительным, если направление обхода и направление тока на данном участке совпадает, и считается отрицательным (– Ii×Ri), если направление обхода и направление тока на данном участке не совпадают.
    ЭДС берётся со знаком (+) если она действует в направлении обхода, или со знаком (–) если против.
  3. Составить столько уравнений по 1 и 2 правилам Кирхгофа, сколько неизвестных, и решить систему уравнений.

Модели: Цепи постоянного тока ОФ 1.0; Видеозадачи: 1) Загадка для лентяев; 2) Задуем лампочку – Видеозадачник, ч1, 3

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *