Законы кирхгофа для цепи переменного тока

10. Правила Кирхгофа для цепей переменного тока

Алгебраическая сумма комплексных токов в узле электрической цепи равна нулю:

Второе правило Кирхгофа:

Алгебраическая сумма комплексных значений э.д.с. в любом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме комплексных значений падений напряжений на всех приемниках этого контура:

где n – число источников э.д.с. в контуре;

m – число приемников в контуре;

– комплексные падения напряжения на i-том приемнике контура.

Уравнения для цепей переменного тока по правилам Кирхгофа составляются точно так же, как и для цепей постоянного тока.

Правила Кирхгофа справедливы так же для мгновенных значений токов, э.д.с. и напряжений.

11. Полная цепь переменного тока

Полной цепью переменного тока называется цепь, содержащая источник, а также активный, индуктивный и емкостной элементы. Такие цепи часто называют цепями RLC.

Последовательное соединение элементов RLC

Пусть в такой цепи протекает ток

Ур-ие электрического состояния цепи для мгновенных напряжений имеет вид:

Построим векторную диаграмму, соответствующую этому уравнению.

При построении векторных диаграмм стрелки векторов направляются в сторону возрастающего потенциала.

Найдем сумму векторов .

Результирующий вектор равен напряжению источника.

Вектор можно разложить на составляющие: = и , которые называют активной и реактивной составляющей вектора напряжения . Точно также можно разложить и вектор тока .

Векторы , и образуют прямоугольный треугольник (треугольник напряжений), из которого

Поделив напряжение на ток, получим модуль полного сопротивления

где Z – модуль (численное значение) полного сопротивления.

Х = Х_L – Х_С – реактивное сопротивление электрической цепи.

В нашем случае Х_L > Х_С (нагрузка активно-индуктивная). В случае, если Х_L < Х_С (нагрузка активно-емкостная), .

На векторной диаграмме этому выражению соответствует треугольник сопротивлений (показан пунктиром).

Из треугольника сопротивлений можно определить угол сдвига фаз между током и напряжением. На векторной диаграмме угол φ отсчитывается от вектора I к вектору U. Положительным является направление против часовой стрелки.

Из формулы видно, что угол сдвига фаз зависит только от параметров цепи RLC и не зависит от величины I и U. Этот угол можно изменять, изменяя параметры цепи.

Если Х_L > Х_С (как в нашем случае), реактивное сопротивление положительно, и сопротивление цепи носит активно-индуктивный характер. Если Х_L < Х_С, реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление цепи носит активно-емкостный характер.

Треугольник напряжений и треугольник сопротивлений в этом случае выглядят:

Закон Ома в комплексной форме:

– полное комплексное сопротивление

Комплексное полное сопротивление

Модуль полного сопротивления

Т.О, модуль полного сопротивления цепи равен отношению модулей действующих значений напряжения и тока, а аргумент комплексного сопротивления φ – сдвигу фаз меду напряжением и током.

Из треугольника сопротивлений видны следующие соотношения:

Мощность в цепи RLC

Знак φ определяется по формуле

– коэф-нт мощности (показывает долю активной мощности в полной мощности).

Параллельное соединение элементов RLC

Пусть к данной цепи приложено напряжение

Его комплексное действующее значение

В соответствии с 1 правилом Кирхгофа для комплексных действующих значений токов

где – активная проводимость,

Все проводимости измеряются в сименсах (См).

Закон Ома в комплексной форме: .

– если нагрузка индуктивная (Х_L > Х_С);

– если нагрузка емкостная (Х_L < Х_С).

№18 Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока.

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

где n — число ветвей, сходящихся в узле

Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

где m — число ветвей, образующих контур

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Киргофа в векторной форме

Законы Киргофа в символической форме

Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям выше; применение метода векторных диаграмм, использование в расчетах комплексных чисел и уравнений, являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 18.1).

Токи первых двух ветвей известны:

Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы

Рис. 18.1 — Узел электрической цепи

Непосредственное сложение синусоид:

Сумма двух синусоид одинаковой чыстоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

2. Применение метода векторных диаграмм.

В соответствии с первым законом Киргофа в векторной форме для цепи на рис. 18.1 имеем:

В прямоугольной системе координат строим векторы I1m и I2m и находим вектор I3m, равный их сумме (рис. 18.2)

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то:

Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов.

Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

Рис. 18.2 — Векторная диаграмма токов

3. Решение символическим методом

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

По первому закону Киргофа в символической форме

Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а агрумент — начальной фазе.

Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, потому:

Обращаем внимание на то, что I1+I2≠I3. Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.

Правила Кирхгофа для цепей переменного тока

где импеданс $Z=R+i\left(\omega L-\frac<\omega C>\right)$ позволяет решать все задачи для переменного тока в цепи, которая содержит индуктивность, емкость, сопротивление. Роль этого закона такая же, как и закона Ома для цепей постоянного тока. Следовательно, схема анализа разветвленных цепей переменного тока аналогична, анализу цепей постоянного тока.

Представим, что имеем сложную цепь переменного тока. Мы должны рассматривать только квазистационарные токи, так как для их мгновенных значений справедливы законы Кирхгофа, что и для постоянных токов. Для любого замкнутого контура выполняется второе правило Кирхгофа:

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты

где $<<\mathcal E>>_$ — комплексные амплитуды ЭДС генераторов, $Z_k$ — комплексные импедансы, $I_$ — комплексные амплитуды сил тока.

[Определение] Для каждой точки разветвления цепи переменного тока выполняется первое правило Кирхгофа:

Замечание 1

Необходимо отметить, что законы постоянного тока применяются к комплексным амплитудам напряжения и ЭДС, тока и сопротивлений отдельных участков цепи. Получается, что любую задачу о расчете цепи переменного тока можно решить, если получить решение для схемы, по которой течет постоянный ток, а затем заменить все физические величины (токи, напряжения, ЭДС, сопротивления участков) на их комплексные аналоги.

Замечание 2

Обобщение правил Кирхгофа на разветвленные цепи переменного тока было сделано Д.У. Рэлеем.

«Правила Кирхгофа для цепей переменного тока» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Как уже говорилось, каждая величина, которая входит в правила Кирхгофа является комплексной и уже содержит фазу (следовательно, и знак), при составлении уравнений надо проставлять знаки, так как один участок может принадлежать разным контурам, и соответственно может быть пройден по разным направлениям. Решение уравнений дает возможность найти как амплитуды всех сил токов, так и их фазы. Так как величины, входящие в уравнения комплексные, то количество уравнений в два раза больше, чем было бы, если бы токи были постоянными.

Метод контурных токов

При расчете сложных цепей используют метод контурных токов. Этот метод является следствием правил Кирхгофа. Сложный контур рассматривается как совокупность простых замкнутых контуров. В данном методе принимается то, что на всех участках каждого замкнутого контура течет один и тот же ток. Эти токи называются котурнами. Суммарная сила тока, которая течет по участку контура, равна алгебраической сумме сил контурных токов, для которых этот участок общий. Уравнение Кирхгофа записывается через контурные токи. При этом количество уравнений для контурных токов равно числу неизвестных токов.

Схема расчета сопротивления в цепи переменного тока

Для получения сопротивления цепи переменного тока можно применять простое правило. Гипотетически заменить каждую индуктивность ($L$) на комплексное сопротивление вида $i\omega L$, каждую емкость ($С$) — на $\frac$, все активные сопротивления оставить $R$. С полученными комплексными сопротивлениями провести те же операции, что и при вычислении сопротивления цепи постоянного тока, используя правила нахождения сопротивления параллельных и последовательных соединений. Полученная в результате комплексная величина $Z=X+iY$ будет комплексным сопротивлением цепи (импедансом). При этом $X$ — активное сопротивление цепи, $Y$ — реактивное сопротивление. Величина $\left|Z\right|$ — модуль импеданса:

есть сопротивление цепи переменного тока, оно определяет амплитуду силы тока при известной амплитуде напряжения на концах цепи. Аргумент импеданса определяет угол ($\varphi $), на который напряжение опережает ток в цепи:

Описанный метод расчета комплексных сопротивлений часто применяется в электротехнике. Он не требует вычисления сдвигов фаз (что требуется при построении диаграмм), так как они учтены в комплексных сопротивлениях. Кроме того этот метод позволяет проводить вычисления с любой точностью, тогда как методы графический и векторных диаграмм наглядны, но не точны.

При последовательном соединении импедансов он рассчитывается как сумма:

При параллельном, соответственно:

Задание: Найдите токи, которые текут в участках цепи, которая изображена на рис.1. Считать известными импедансы, которые указаны на рисунке.

Решение:

На рис.1 сложный контур состоит из трех простых контуров. В уравнении Кирхгофа при обходе замкнутого контура (между его узлами) используется сила тока, протекающая по этому участку. На каждом участке контура, в общем случае, сила тока отличается. Найдем полный импеданс для каждого участка контура между узлами (обозначим его соответствующим индексом). Положительное направление обхода обозначено стрелками.

Запишем уравнения, в соответствии с правилами Кирхгофа:

где $Z_,Z_,Z_$ — собственные импедансы контуров, равные:

\[Z_=Z_1+Z_2+Z_3(1.4),\ \] \[Z_=Z_4+Z_5+Z_6+Z_2\left(1.5\right),\] \[Z_=Z_3+Z_6+Z_2\left(1.6\right).\]

$Z_$, $Z_$. — взаимные импедансы контуров. Они равны импедансам участков контуров, причем их знак зависит от того в каком направлении проходит ток соответствующий участок по отношению к контурному току. В нашем случае:

Количество уравнений, которые мы записали, равно количеству неизвестных токов. Решим нашу систему уравнений:

где определитель системы равен:

Задача решена.

Задание: Цепь содержит конденсатор, емкость которого равна $C$, и активное сопротивление $R$ элементы соединены параллельно. Чему равен модуль импеданса? На какой угол напряжение опережает по фазе ток при таком соединении элементов?

Решение:

Заменим емкость $C$ на величину: $\frac$, учитывая, что соединение элементов параллельное, суммарный импеданс найдем как:

Приведем выражение для импеданса к виду:

Для этого правую часть выражения (2.1) умножим и разделим на $\frac-i\omega C$, получим:

Модуль импеданса равен:

Ответ: $\left|Z\right|=\frac<\sqrt<1+\omega^2C^2R^2>>,\varphi=-arc\left(\omega RC\right).$

Законы Кирхгофа

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Данный закон следует из закона сохранения заряда. Если цепь содержит p узлов, то она описывается p-1 уравнениями токов. Этот закон может применяться и для других физических явлений (к примеру, водяные трубы), где есть закон сохранения величины и поток этой величины.

Второй закон

Второй закон Кирхгофа (Закон напряжений) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Если в контуре нет ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю:

для постоянных напряжений:

для переменных напряжений:

Иными словами, при обходе цепи по контуру, потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Если цепь содержит m ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве mi, то она описывается m-mi-(p-1) уравнениями напряжений. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является закон Ома для этой цепи.

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Материалы по теме:

Четырехпроводная схема подключения источника питания и нагрузки
Измерение сопротивления на переменном токе
Измерение RLС. Эквивалентный режим
Характеристическое сопротивление
Тангенс угла потерь