Нарисовать электрическое поле отрицательного заряда

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле . Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не производит заметного перераспределения исследуемых зарядов.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика напряженность электрического поля .

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора в каждой точке пространства совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим . Во многих случаях для краткости это поле обозначают общим термином – электрическое поле

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.

В соответствии с законом Кулона напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом на расстоянии от него, равна по модулю

Это поле называется кулоновским . В кулоновском поле направление вектора зависит от знака заряда : если , то вектор направлен по радиусу от заряда, если , то вектор направлен к заряду.

Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии . Эти линии проводят так, чтобы направление вектора в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии (рис. 1.2.1). При изображении электрического поля с помощью силовых линий, их густота должна быть пропорциональна модулю вектора напряженности поля.

Рисунок 1.2.1.

Силовые линии электрического поля

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рис. 1.2.2. Так как электростатическое поле, создаваемое любой системой зарядов, может быть представлено в виде суперпозиции кулоновских полей точечных зарядов, изображенные на рис. 1.2.2 поля можно рассматривать как элементарные структурные единицы («кирпичики») любого электростатического поля.

Рисунок 1.2.2.

Силовые линии кулоновских полей

Кулоновское поле точечного заряда удобно записать в векторной форме. Для этого нужно провести радиус-вектор от заряда к точке наблюдения. Тогда при вектор параллелен а при вектор антипараллелен Следовательно, можно записать:

где – модуль радиус-вектора .

В качестве примера применения принципа суперпозиции полей на рис. 1.2.3. изображена картина силовых линий поля электрического диполя – системы из двух одинаковых по модулю зарядов разного знака и –, расположенных на некотором расстоянии .

Рисунок 1.2.3.

Силовые линии поля электрического диполя

Важной характеристикой электрического диполя является так называемый дипольный момент

где – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, модуль Диполь может служить электрической моделью многих молекул.

Электрическим дипольным моментом обладает, например, нейтральная молекула воды (H₂O), так как центры двух атомов водорода располагаются не на одной прямой с центром атома кислорода, а под углом 105° (рис. 1.2.4). Дипольный момент молекулы воды .

Рисунок 1.2.4.

Дипольный момент молекулы воды

Во многих задачах электростатики требуется определить электрическое поле по заданному распределению зарядов. Пусть, например, нужно найти электрическое поле длинной однородно заряженной нити (рис. 1.2.5) на расстоянии от нее.

Рисунок 1.2.5.

Электрическое поле заряженной нити

Поле в точке наблюдения может быть представлено в виде суперпозиции кулоновских полей, создаваемых малыми элементами нити, с зарядом , где заряд нити на единицу длины. Задача сводится к суммированию (интегрированию) элементарных полей Результирующее поле оказывается равным

Вектор везде направлен по радиусу Это следует из симметрии задачи. Уже этот простой пример показывает, что прямой путь определения поля по заданному распределению зарядов приводит к громоздким математическим выкладкам. В ряде случаев можно значительно упростить расчеты, если воспользоваться теоремой Гаусса, которая выражает фундаментальное свойство электрического поля.

Моделирование силовых линий электрического поля двух точечных зарядов вблизи проводящей плоскости

Всегда было интересно как же рисовать линии напряженности не только на интуитивном уровне — от плюсы к минусу, но и на практике. Как на самом деле они выглядят в каждой точке на нашем условном поле? Сейчас и разберемся по ходу дела рассматривать и более сложные системы точек, используя силу языка python .

Теория

Любой заряд создает вокруг себя поле, которое влияет на другие заряды — электрическое поле.

Также в сумме некоторое количество зарядов создает вокруг себя поле, с различным влиянием в каждой точке. Поэтому для обнаружения и исследования электрического поля нам нужен заряд, который называют пробным. Этот заряд мы берем, чтобы «попробовать», существует ли в той или иной точке пространства электрическое поле: если в какой-то точке на этот заряд действует электрическая сила.

Сила с которой взаимодействуют два заряда описывается законом Кулона.

Пусть у нас есть два неподвижных заряда, тогда силой Кулона называется силы, выражаемой формулой:

где радиус векторы первого и второго заряда, а диэлектрическая постоянная. Формула на самом деле очень похожа на формулу гравитационного взаимодействия. Можно сделать такую же аналогию — сила зависит от величины двух объектов и расстояния между ними, помноженную на какую-то константу.

Обобщение на случай распределенного заряда:

Здесь у нас не просто заряд, а какое-то тело. Не вдаваясь в подробности, мы пользуемся аддитивностью силы () и высчитываем силу от заряда до маленькой части тела . Уменьшив размеры части тела и сложив все такие силы, мы получим интеграл.

С помощью пробного заряда можно оценить “силу влияния” какого-то поля — этой величиной называется напряженность электрического поля.

Напряженность в точке пробного заряда пропорциональна силе и обратно пропорциональна заряду —

Соответственно напряженность поля в точке заряда :

Так же как и сила , напряженность электрического поля аддитивна

также это свойство называется принципом суперпозиции. То есть в рассматриваемой нами статье напряженность точки — точка пространства, можно получить сложив напряженность относительно и плоскости:

Моделирование

Для некоторого упрощения понимания результата работы было принято решение смотреть на плоскость — срез — проходящий через две точки и пересекающий перпендикулярно плоскость.

Для моделирования силовых линий электрического поля был использован язык python . В основе реализации лежит класс ElectricField описывающий электрическое поле с конструктором, принимающий на вход все объекты, имеющие заряд.

А именно две точки Point(number charge, number x, number y)

и прямую Line(number charge, number[] firstPoint, number[] secondPoint) .

Сигнатуру методов указана для упрощения понимания =)

class ElectricField: dt0 = 0.01 # The time step for integrations def __init__(self, charges): #Инициализация поля по вводным объектам self.charges = charges def vector(self, x): #Возвращает все вектора поля return np.sum([charge.E(x) for charge in self.charges], axis=0) def magnitude(self, x): #Возвращает длину вектора return norm(self.vector(x)) def angle(self, x): #Возвращает угол от оси абцисс до вектора в радианах return np.arctan2(*(self.vector(x).T[::-1]))

Каждый из этих объектов имеет метод, который вычисляет напряженность в какой-то пробной точке по своей специфичной для своего рода объекта формуле.

Например, для класса Point это .

Что примечательно мы не просто так опускаем коэффициент пропорциональности . Дело в том, что этот скаляр влияет лишь на длину всех векторов в поле, поэтому опустив, его мы не упустим наглядности результата. Весь код вы можете найти в дополнительных материалах.

Соответственно, наши объекты будут обладать начальными условиями: Point зарядом и координатами на плоскости, Line зарядом и двумя точками, на длине которой этот заряд определен.

# Создадим объекты и засунем их в поле charges = [Line(1, [0, -10], [0, 10]), Point(-1, [-1, 0]), Point(1, [1, 0])] field = ElectricField(charges)

Инициализируем дополнительно наши размеры, массивы размеров ширины и высоты, а далее пройдемся по выделенными нами точкам.

x, y = np.meshgrid(np.linspace(XMIN/ZOOM+XOFFSET, XMAX/ZOOM+XOFFSET, 41), np.linspace(YMIN/ZOOM, YMAX/ZOOM, 31)) u, v = np.zeros_like(x), np.zeros_like(y) n, m = x.shape # Вот тут проходим по точкам for i in range(n): for j in range(m): # Если точка лежит на прямой Е = 0 if any(charge.is_close([x[i, j], y[i, j]]) for charge in charges): u[i, j] = v[i, j] = None else: # Находим длину и корректируем ее немного mag = field.magnitude([x[i,j], y[i,j]])**(1/5) # Находим угол и суем компоненты вектора в u v массивы a = field.angle([x[i,j], y[i,j]]) u[i, j], v[i, j] = mag*np.cos(a), mag*np.sin(a)

После чего нам остается кое-что поправить в графике и вывести его функцией pyplot.show()

Примеры

Пусть у нас даны начальные условия двух точек и прямой.

charges = [Line(1, [0, -10], [0, 10]), Point(-1, [-1, 0]), Point(1, [1, 0])]

Довольно ожидаемая картина — линии напряженности выходят из положительно заряженных объектов и входят в отрицательно заряженные.

Тогда если изменить заряды на одинаковые:

Отличие лишь в направлении каждого вектора — они поменяли направление из-за знака.

Что если изменить величину зарядов:

Как и ожидалось — более заряженные объекты искривляют электрическое поле больше. Опять же аналогия с гравитационным полем: чем больше масса там больше тело изменяет пространство вокруг себя.

Однако все ли здесь хорошо?

Что происходит? Мне в школе говорили, что одинаково заряженные объекты отталкиваются, а тут получается, что не совсем?

Однако если посмотреть на всю картину, то станет ясно, кто во всем виноват:

Построим более наглядную картину, увеличив отрицательный заряд.

Очень сильно отрицательно заряженная точка искривляет поле так, что влияние этой положительно заряженной линии Line просто подавляется, но если посмотреть более пристально, то можно увидеть, что длина линий напряженности после прохождения Line немного увеличивается.

При огромном желании эти графики построить можно самому. Этот код я частично позаимствовал у tomduck. Кстати, у него еще больше показательных примеров не только 2-D, но и 3-D графиков. Очень рекомендую посмотреть хотя бы описание библиотеки.

Спасибо, что посмотрели этот пост, который был лишь для защиты проектной лабораторной по физике с моделированием.

Электрическое поле и способы его описания

формулки.ру

Если снять шерстяной свитер в сухую погоду, мы услышим треск. А если снимать свитер в темноте, иногда можно даже заметить искорки электрических разрядов.

Если расчесывать в сухую погоду сухие волосы пластмассовой расческой, то происходит ее электризация трением. Наэлектризованная расческа получит заряд и сможет притягивать небольшие кусочки бумаги.

Проделывая опыт с расческой и сухими волосами, можно убедиться, что наэлектризованные волосы и расческа буду притягиваться. Мы наблюдаем притяжение, значит, волосы и расческа обладают противоположными зарядами. Приближая расческу к волосам, обнаружим, что притяжение между ними возрастает.

Рис. 1. Наэлектризованные предметы обладают способностью притягивать небольшие тела, находящиеся на некотором расстоянии

Этот опыт позволил убедиться, что заряды действуют друг на друга на расстоянии. Чем ближе заряды находятся, тем сильнее их взаимное действие друг на друга.

Из механики известно, что существует ударное взаимодействие тел, когда, например, один бильярдный шар ударяется о другой такой же шар. В школьной физике рассматривают два вида ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

Существует, так же, безударное взаимное действие тел – их притяжение, или отталкивание. К примеру, в механике, силу притяжения между телами, имеющими массу, вычисляют с помощью закона всемирного тяготения.

А силу взаимодействия электрических зарядов описывает закон Кулона.

Взаимодействие зарядов передается без участия вещества

Заряды будут притягиваться и отталкиваться не только в воздухе, но, даже в безвоздушном пространстве. В этом легко убедиться, если поместить заряженный электроскоп под колокол и откачать из-под колокола воздух. Полоски бумаги, имеющие одинаковые заряды, все так же, продолжат отталкиваться, независимо от того, в воздухе ли они находятся, либо в безвоздушном пространстве.

Рис. 2. Для передачи взаимного действия зарядов вещество не нужно, так как это взаимодействие передается не через вещество

Это значит, что передача взаимодействия зарядов происходит не через вещество.

Ученые из Англии – Майкл Фарадей и Джеймс Максвелл, долгое время изучали электрические заряды. Они выяснили, что заряды окружены особым видом материи, которую они назвали электрическим полем.

Любой заряд окружен электрическим полем — особым видом материи.

Теории дальнодействия и близкодействия

Физики выдвигали различные теории, пытаясь объяснить взаимодействие зарядов. Наибольшее распространение получили две – их называют теориями близкодействия и дальнодействия.

Дальнодействие

Теория дальнодействия сообщает, что один заряд действует на другой заряд непосредственно. То есть, чтобы передать действие одного заряда на другой, посредники не нужны.

Кроме того, взаимодействие происходит мгновенно на любых расстояниях. Это значит, что если убрать один из взаимодействующих зарядов, то его действие на оставшийся заряд прекратится мгновенно.

Близкодействие

В противоположность этой теории Майкл Фарадей предложил свою теорию близкодействия.

Эта теория заявляет о том, что непосредственно действовать друг на друга заряды не могут. То есть, для передачи своего воздействия заряду нужна некоторый помощник. И каждый заряд создает в пространстве вокруг себя этого помощника. Фарадей назвал его электрическим полем.

На другие заряды будет действовать не сам заряд, а поле, созданное этим зарядом. Такое поле распространяется в пространстве не мгновенно, а с конечной скоростью.

Примечание: Как выяснилось позже, это очень большая скорость – триста тысяч километров в секунду. Ее называют скоростью света.

Поэтому, если один из взаимодействующих зарядов быстро убрать, то второй заряд узнает о его исчезновении не мгновенно, а через некоторое, пусть небольшое, время.

Получается, что взаимодействие зарядов протекает не непосредственно, а в виде цепочки. Каждый заряд создает вокруг себя поле, именно поле действует на другой заряд, помещенный в него.

А сила, действующая на заряд, расположенный в какой-либо точке пространства, зависит от характеристик поля в этой точке.

Рис. 3. Основные отличия теории дальнодействия от теории близкодействия

В настоящее время общепринятой теорией, объясняющей взаимодействие зарядов, является теория близкодействия Фарадея. Так как эта теория полностью подтвердилась экспериментально.

Примечание: Кроме электрических существуют, так же, магнитные поля. В отличие от электростатического, магнитное поле не имеет своих магнитных источников. Оно возникает в пространстве вокруг движущихся зарядов. То есть, магнитное поле – это поле электрических зарядов, находящихся в движении.

Джеймс Клерк Максвелл в середине 19-го века показал, что электрическое и магнитное поля связаны и это электромагнитное поле распространяется в пространстве с очень большой, но конечной скоростью.

Поле и вещество – это два вида материи

Мир, окружающий нас, материален. Значит, материя – это то, что существует реально, независимо от того, наблюдаем ли мы за ней, или нет.

Она может проявлять себя в виде двух частей — вещества и поля. Нас окружает вещество, а атомы и молекулы — это мельчайшие единицы вещества.

Поле – это еще один вид материи. Поле веществом не является, однако, оно существует реально.

Рис. 4. Материя состоит из двух частей — поля и вещества

Как обнаружить электрическое поле

Мы не чувствуем электрическое поле, так как у нас нет органов чувств, способных его обнаружить.

Но, используя нечто, что обладает чувствительностью к электрическому полю, можно убедиться, что поле, окружающее заряды, существует.

В качестве чувствительного элемента можно использовать любой электрический заряд. Потому, что любой заряд окружен своим собственным электрическим полем и, благодаря ему может чувствовать подобные поля, создаваемые другими зарядами. Такой заряд, используемый для обнаружения поля, физики называют пробным.

Рис. 5. Описание понятия пробного точечного заряда

Примечания:

Некоторые живые существа могут чувствовать электрические поля, например, некоторые виды рыб.
Электрическое поле можно обнаружить по его действию на заряды, а, так же, с помощью различных приборов.
Поле заряда действует с некоторой силой на расположенный рядом другой заряд. То есть, заряды действуют друг на друга благодаря своим электрическим полям.

Мы можем обнаружить электрическое поле благодаря его действию на другие заряды. Электрическая сила — это сила, с которой поле действует на внесенный в него пробный заряд.

Примечание: Не следует путать пробный и элементарный заряд.

Две характеристики электростатического поля

Поле, окружающее неподвижные заряды, называют электростатическим полем.

Электрическое поле можно описать двумя величинами – векторной величиной — напряженностью \(\large \vec\) и скалярной величиной – потенциалом \(\large \varphi \).

Рис. 6. Электрический потенциал и напряженность описывают поле зарядов

Примечание: Применяют, так же, еще одну характеристику электрического поля — вектор электрической индукции \(\large \vec\).

Описываем электрическое поле с помощью вектора

Рассмотрим два неподвижных точечных электрических заряда. Один заряд обозначим большой буквой Q:

\(\large Q \left( \text\right) \) – этот заряд создает вокруг себя электрическое поле.

Чтобы обнаружить это поле, на некотором расстоянии от заряда Q поместим еще один заряд.

\(\large r \left( \text\right) \) — расстояние между зарядами.

\(\large q \left( \text\right) \) — второй заряд, будем называть его пробным.

Примечания:

Заряд точечный, если его размерами можно пренебречь;
Обычно знак такого пробного заряда выбирают положительным. Пробный заряд имеет небольшую величину, такую, что поле, создаваемое им, на другие заряды почти не влияет.

Свойство 1: Поле, создаваемое зарядом, влияет только на другие заряды. Это поле не влияет на заряд, породивший его.

Благодаря своим электрическим полям заряды q и Q действуют друг на друга. Силу их взаимодействия можно рассчитать по закону Кулона:

\(\large F \left( H \right) \) – сила, с которой два точечных заряда притягиваются, или отталкиваются;

Для нас важным сейчас является само наличие взаимодействия. Чтобы не выяснять, будет ли сила воздействия силой притяжения, или отталкивания, каждый заряд поместим внутрь модуля.

Свойство 2: Электрическое поле, принадлежащее заряду Q в какой-либо точке пространства, не зависит от того, есть ли в этой точке какой-то другой заряд.

Что такое напряженность поля

Введем физическую величину, которая описывает поле заряда Q и не зависит от пробного q заряда. Для этого разделим обе части уравнения на пробный q заряд:

Обратите внимание, что правая часть полученного уравнения не зависит от пробного заряда. Потому, что пробный заряд, обозначенный малой буквой q, не входит в правую часть. Правая часть зависит только от заряда, создавшего поле и обозначенного большой буквой Q.

Введем обозначение для дроби, расположенной в левой части полученного уравнения:

\( \large \vec \left( \frac > \right) \) – напряженность электрического поля, измеряется в Вольтах, деленных на метр, или в Ньютонах, деленных на Кулон;

Напряженность электростатического поля в выбранной точке пространства – это векторная величина. Она равна отношению силы, действующей на пробный заряд, находящийся в выбранной точке поля к величине этого заряда. В различных точках поля силы могут быть разными, значит, будут различаться и напряженности в этих точках.

Чтобы найти (длину) модуль вектора E напряженности поля, создаваемого точечным зарядом, приравняем к величине E правую часть полученного выше выражения:

\(\large k = 9\cdot 10^ \left( H \cdot \frac^>^>\right)\) – постоянная величина;

\(\large |Q| \left( \text\right) \) — заряд, создающий в пространстве вокруг себя электрическое поле;

\(\large r \left( \text\right) \) – расстояние от заряда Q до точки, в которую мы поместили пробный заряд.

Рис. 7. Измерить напряженность поля в точке можно, используя пробный заряд

Примечание: Поле мы измеряем в той точке, в которую помещаем пробный заряд.

Напряженность – это вектор. Две главные характеристики вектора – его длина и направление.

Величина \( \large \vec \) является силовой характеристикой электрического поля. Чем больше напряженность E, тем больше сила F, действующая на пробный заряд, помещенный в это поле.

Если на заряд 1 Кулон, помещенный в электростатическое поле, действует сила 1 Ньютон, то напряженность этого поля равна единице.

По третьему закону Ньютона, силы, с которыми взаимодействуют два заряда, будут равными.

Каждый неподвижный заряд создает свое собственное электростатическое поле. Если заряды имеют различные величины, то напряженности их полей различаются.

Куда направлен вектор Е

Обратим в очередной раз внимание на формулу:

Заряд q – скалярная величина. А сила F – векторная.

Воспользуемся математическими свойствами векторов: разделив вектор F на скаляр q, мы получим новый вектор E:

его длина отличается от вектора F.
направления векторов F и E совпадают (либо векторы F и E направлены в противоположные стороны).

Рис. 8. Направление вектора E выбирается от положительных зарядов и в сторону отрицательных зарядов

Вектор E сонаправлен с вектором силы, действующей на помещенный в поле пробный заряд. Для положительного заряда его вектор E направлен от этого заряда. А для отрицательного заряда его вектор E направлен к этому заряду.

Примечание: Однонаправленные или противоположно направленные, то есть, параллельные векторы, называют коллинеарными. У них может отличаться длина.

Как изменяется длина вектора Е с расстоянием

Длина вектора напряженности с расстоянием быстро убывает. Об этом можно судить с помощью формулы, описывающей модуль данного вектора:

\[\large E = k \cdot \frac > \]

Расстояние r возводится в квадрат и расположено в знаменателе. Это значит, что если расстояние увеличится в 2 раза, то напряженность уменьшится в 4 раза.

А если, например, расстояние увеличится в 3 раза, то напряженность уменьшится в 9 раз.

На рисунке 9 отражено изменение длины вектора напряженности. Обратите внимание на направление этого вектора и знак заряда:

Рис. 9. Как напряженность зависит от расстояния до заряда, создавшего поле

Мы можем выразить зависимость напряженности от расстояния с помощью знака пропорции:

Подобную зависимость на графике можно отразить такой кривой:

Рис. 10. Модуль вектора напряженности электрического поля быстро уменьшается с увеличением расстояния до заряда

Как видно из рисунка 10, увеличение расстояния до заряда в четыре раза вызывает ослабление напряженности его поля в шестнадцать раз.

Как по известной напряженности вычислить силу, с которой поле действует на заряд

Если известна напряженность поля, то силу, которая действует на заряд, помещенный в это поле, можно вычислить по формуле:

\[\large \boxed < \vec\cdot q = \vec > \]

\(\large q \left( \text\right) \) – заряд, положительный, или отрицательный, помещенный в выбранную точку пространства, в которой существует электрическое поле;

Формула записана в векторном виде. Это значит, что она позволяет найти обе характеристики силы, действующей на заряд — направление вектора силы и его модуль.

Умножив заряд на напряженность в выбранной точке поля, можно вычислить силу, действующую на заряд со стороны поля.

Рис. 11. Направления векторов силы и напряженности совпадают для положительного заряда и направлены противоположно для отрицательного заряда

Так как напряженность входит в формулу для вычисления силы, ее называют силовой характеристикой электрического поля.

Зная силу, мы можем по второму закону Ньютона вычислить ускорение заряда. А с помощью формул кинематики для равнопеременного движения, зная ускорение, можно определить перемещение заряда или траекторию его движения.

Как изобразить электрическое поле единичного заряда

Пусть неподвижный положительный точечный заряд создает в пространстве, окружающем его, электрическое поле. Нарисуем несколько векторов напряженности этого поля.

Красной точкой на рисунке обозначен заряд. А черным цветом обозначены точки, в которые помещали пробный заряд и измеряли поле.

Рис. 12. Можно изображать поле неподвижного заряда, располагая в пространстве векторы напряженности

По длине векторов можно сделать вывод, чем ближе к заряженному телу расположен пробный заряд, тем сильнее на него действует поле. Увеличив же расстояние между заряженным телом и пробным зарядом, заметим, что действие поля уменьшится.

Поля, действие которых будет различаться в разных точка пространства, называют неоднородными. Значит, электрическое поле вокруг точечных зарядов, неоднородное.

Изображаем неоднородное электрическое поле силовыми линиями

Как видно, мы можем изобразить поле с помощью нарисованных в различных точках векторов напряженности. Однако, есть более удобный способ.

Присмотревшись к рисунку, можно заметить, что векторы напряженности, окружающие заряд, располагаются на некоторых прямых. Эти прямые обозначены пунктирными линиями на рисунке. Из называют линиями электрического поля, или линиями напряженности.

Примечание: Изображать электростатическое поле удобнее не с помощью векторов, а с помощью линий напряженности.

Если заряд единственный, а поблизости от него других зарядов нет, то его поле изображают радиально расходящимися во все стороны линиями.

Рис. 13. Набор силовых линий одиночного точечного заряда, это неоднородное поле

Линии положительных зарядов направлены от них, а линии отрицательных зарядов – к этим зарядам, так же, как векторы напряженности.

Мы помним, что вектор напряженности описывает силу, с которой поле, созданное зарядом может действовать на другие заряды. Поэтому, линии напряженности, так же, часто называют силовыми линиями поля.

Как выглядит поле двух взаимодействующих зарядов

Рассмотрим теперь поле взаимодействующих зарядов — положительного и отрицательного.

Рис. 14. Неоднородное поле двух точечных взаимодействующих зарядов

Как видно, линии взаимодействующих зарядов искривляются и, их конфигурация искажается.

Мы знаем, что поле одного точечного заряда неоднородное. Поле двух взаимодействующих зарядов, так же, неоднородное.

Теперь проведем обобщение, на рисунке неоднородное поле изображают:

либо прямыми линиями, радиально расходящимися во все стороны от одиночного заряда, либо
кривыми линиями, для взаимодействующих зарядов.

По мере удаления от зарядов расстояние между линиями будет увеличиваться. Чем дальше линии располагаются одна от другой в некоторой области пространства, тем слабее поле в этой области.

Будет ли поле действовать на заряд, расположенный между силовыми линиями

У начинающих изучать электростатику часто возникает вопрос, а будет ли на заряд, находящийся на рисунке между силовыми линиями, действовать сила с стороны электрического поля? Конечно, будет.

Не имеет значения, находится ли заряд на силовой линии на рисунке, или в пространстве между силовыми линиями. Поле существует во всех точках рассматриваемой области, поэтому на заряд будет действовать сила в любой точке поля, независимо, находится ли эта точка на силовой линии, или нет.

Примечание: Силовые линии – это всего лишь способ графического обозначения поля в некоторой области пространства. Поле существует во всех точках пространства, а не только на силовых линиях.

Свойства силовых линий электростатического поля

Можно выделить два свойства силовых линий поля, создаваемого неподвижными зарядами:

Силовые линии имеют начало и конец – они начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
Напряженность поля больше в той области, в которой линии располагаются гуще.

Рис. 15. Два свойства силовых линий электрического поля, созданного неподвижными зарядами

Примечание: Существует, так же, вихревое электрическое поле. Это поле не связано с неподвижными зарядами. Его линии замкнуты сами на себя. Картина такого поля представляет собой нечто похожее на вихрь, отсюда и появилось его название. Подробнее о вихревом электрическом поле написано в статье, посвященной электромагнитным волнам.

Поле сильней там, где его линии располагаются ближе одна к другой, а так же там, где длиннее вектор Е.

Где заканчиваются линии единственного заряда

Линии электростатического поля, начавшись на положительном заряде, должны закончиться на каком-либо отрицательном заряде.

Если поблизости от какого-либо заряда не располагается второй заряд, имеющий противоположный знак, то линии поля такого одинокого заряда уходят в бесконечность.

Там, далеко, на бесконечности, всегда найдется заряд, имеющий противоположный знак, на котором будут заканчиваться линии рассматриваемого одиночного заряда.

Рис. 16. Если заряд единичный и поблизости других зарядов противоположного знака нет, то силовые линии его уходят в бесконечность и там заканчиваются на противоположном заряде

Почему заряды называют источниками электрического поля

Электростатическое поле имеет свои электрические источники.

Нам известно, что линии электростатического поля имеют начало и конец. Они начинаются на положительных зарядах, а на отрицательных зарядах заканчиваются.

Поэтому, положительные заряды называют источниками поля, а отрицательные – стоками.

Рис. 17. Электрические заряды называют источниками электростатического поля

Как изобразить однородное электрическое поле

Если равномерно распределить заряды по двум плоским поверхностям, расположив эти поверхности на некотором расстоянии параллельно, то в пространстве между этими поверхностями электрическое поле будет однородным.

Примечание: Система из двух параллельных проводящих поверхностей, расположенных на некотором расстоянии одна от другой, называют электрическим конденсатором.

Однородное поле на рисунке изображают параллельными прямыми линиями, расстояние между которыми не изменяется.

Такие поля можно создать только в некоторой ограниченной области пространства. Их удобно изучать, потому, что в любой точке такого поля вектор напряженности будет иметь одно и то же направление и длину.

Рис. 18. Поле, расположенное в пространстве между двух заряженных плоскостей, будет однородным

Если во всех точках пространства, в которых существует электрическое поле, вектор напряженности имеет одинаковое направление и длину, то это поле называют однородным.

Примечание: Если говорить начистоту, то у концов плоских поверхностей линии поля будут искривляться. Это значит, что у краев поле не будет однородным.

Поэтому, для создания однородного электрического поля в учебной литературе рассматривают абстрактные бесконечно протяженные плоскости.

Читайте отдельную статью том, как обозначают распределенные заряды (откроется в новой вкладке).

Связь между векторами E неоднородного поля и линиями напряженности

Рассмотрим еще раз рисунок, на котором изображено поле двух взаимодействующих зарядов. Выберем на нем одну силовую линию. Вычислим длины нескольких векторов E и нарисуем их в выбранных точках, расположенных на этой линии.

Рис. 19. Силовая линия двух притягивающихся точечных зарядов и векторы напряженности в нескольких точках этой линии

Если через каждый вектор напряженности провести прямую линию, можно заметить, что эти линии образуют семейство касательных. Такие касательные прямые линии ограничивают собой кривую. Эта кривая и будет являться силовой линией.

Теперь можно дать определение силовых линий:

Силовая линия электростатического поля – это линия, касательная к которой в любой выбранной точке будет сонаправлена с вектором напряженности электрического поля в этой же точке.

В отдельной статье будет рассказано о работе электрического поля и еще одной его характеристике — потенциале.

Напряженность электрического поля

Основной закон электростатики — закон Кулона — позволяет вычислить силу взаимодействия двух точечных зарядов. Данный закон, однако, ничего не говорит нам о том, каким образом осуществляется это взаимодействие.

Дальнодействие и близкодействие

Опыт показывает, что электрические заряды действуют друг на друга даже в отсутствие между ними вещества, то есть в вакууме. Поэтому долгое время в науке преобладала теория дальнодействия. Эта теория утверждала, что один заряд действует на другой непосредственно, без участия какого-то промежуточного агента. В частности, изменение взаимного расположения зарядов приводит к мгновенному изменению силы их взаимодействия.

Противоположной точкой зрения служила теория близкодействия. Согласно этой теории, для взаимодействия тел нужен промежуточный агент — физический объект, передающий взаимодействие от одной точки пространства к другой. В частности, скорость передачи взаимодействий конечна: при изменении положения одного из зарядов другой заряд «почувствует» это изменение не сразу, а спустя некоторый интервал времени.

Что же это за промежуточный объект, передающий взаимодействие, если заряды могут действовать друг на друга сквозь пустоту? Данный вопрос был одним из главных возражений сторонников дальнодействия, среди которых были крупнейшие физики и математики своего времени (Кулон, Ампер, Лаплас).

Электрическое поле

Тем не менее, теория близкодействия одержала верх. Физическим объектом, передающим взаимодействие между зарядами даже сквозь пустоту, оказалось электромагнитное поле. Решающими здесь оказались идеи и труды двух великих учёных XIX столетия — Фарадея и Максвелла. Экспериментальным подтверждением теории близкодействия явилось открытие электромагнитных волн.

Неподвижные заряды не создают магнитного поля, поэтому, пока мы изучаем электростатику, мы будем говорить только об электрическом поле. Итак,

электрический заряд создаёт вокруг себя электрическое поле, которое, в свою очередь, действует с некоторой силой на другие заряды.

Электрическое поле не нуждается в какой-то специальной среде, которая являлась бы его носителем. Оно может возникать как в веществе, так и в вакууме, и является (наряду с веществом) альтернативной формой существования материи.

По современным физическим представлениям электрическое поле является первичным физическим объектом: мы пока не можем сказать, каково его внутреннее устройство (точно так же мы не можем сказать, например, из чего состоит электрон). Мы можем лишь изучать свойства электрического поля, устанавливать законы его поведения и использовать эти законы в своих целях.

Источниками электрического поля являются электрические заряды. Индикатором для обнаружения поля также является электрический заряд (так называемый пробный заряд). По действию на пробный заряд мы и можем судить о наличии электрического поля в данной области пространства. Кроме того, с помощью пробного заряда мы можем исследовать величину поля в различных пространственных точках. Разумеется, для этого пробный заряд должен быть точечным.

Опыт показывает, что сила, с которой поле действует на пробный заряд, прямо пропорциональна величине заряда. Поэтому отношение силы к заряду уже не зависит от величины заряда и является характеристикой поля.

Напряженность электрического поля — это отношение вектора силы F, с которой поле действует на пробный заряд q, к самому пробному заряду (с учетом его знака):

Напряженность поля, как видим, является векторной величиной. В каждой точке пространства электрическое поле характеризуется вектором напряжённости. Поле считается заданным, если нам известна зависимость вектора напряжённости от координат точки и, вообще говоря, от времени.

Как следует из определения, напряжённость измеряется в Н/Кл. Общепринятая единица напряжённости есть В/м. Мы скоро увидим, что это одно и то же.

Если напряжённость поля известна, то формула (1) позволяет найти силу, которая действует на точечный заряд со стороны электрического поля:

Сила и напряжённость, таким образом, являются коллинеарными векторами. Если заряд положительный, то сила направлена в ту же сторону, что и напряженность. Если заряд отрицательный, то сила направлена противоположно напряжённости.

Одна из основных задач электростатики — нахождение напряженности поля, создаваемого данной системой зарядов. Рассмотрим некоторые примеры.

Напряженность поля точечного заряда

Определение модуля и направления вектора напряжённости поля точечного заряда — это самая простая и легко решаемая задача.

Рассмотрим положительный точечный заряд q, находящийся в вакууме. Поместим на расстоянии r от него положительный пробный заряд q0. Со стороны заряда q на пробный заряд действует сила отталкивания, поэтому напряженность поля положительного заряда q направлена от него (рис. 1):

Величина силы отталкивания равна:

Делим силу на пробный заряд q0 и находим модуль напряженности поля заряда q:

Пусть теперь заряд, создающий поле, будет отрицательным; модуль этого заряда также обозначаем q. Сила, действующая на положительный пробный заряд, станет силой притяжения. Поэтому напряженность поля отрицательного заряда направлена к нему (рис. 2):

Модуль напряжённости поля снова находится по формуле (2).

Если заряд q находится в среде с диэлектрической проницаемостью ε, то сила его действия на пробный заряд уменьшается в ε раз:

Следовательно, в ε раз уменьшается и напряженность поля:

Модуль напряженности поля точечного заряда q находится по формуле (2) в вакууме и по формуле (3) в диэлектрической среде. Вектор напряжённости в данной точке направлен вдоль прямой, соединяющей точку с зарядом: от заряда при q > 0 и к заряду при q < 0.

По мере удаления от заряда модуль напряженности поля убывает пропорционально квадрату расстояния от точки наблюдения до заряда. На рис. 3 дано примерное графическое представление электрического поля точечного заряда в пространстве (показаны векторы напряженности поля в различных точках).

Рябит в глазах, не правда ли? Ниже мы познакомимся с более удобным способом изображения поля — линиями напряженности.

Принцип суперпозиции электрических полей

Начнём со случая двух зарядов. Пусть положительный заряд q1 создаёт в точке M электрическое поле E1, и пусть отрицательный заряд q2 создаёт в этой же точке поле E2. Какое поле создают в точке M оба заряда вместе?

Поместим в точку M пробный заряд q. Тогда со стороны заряда q1 на него будет действовать сила F1, а со стороны заряда q2 — сила F2. Согласно принципу суперпозиции, на заряд q действует результирующая сила

Поделим данное равенство на пробный заряд q:

С учетом определения (1) напряжённости поля получаем:

Таким образом, напряжённость результирующего поля в точке M оказывается равна векторной сумме напряжённостей полей каждого из зарядов (рис. 4):

Напряженности полей складываются векторно и в общем случае. В самом деле, поделив формулу F = F1 + F2 + … + Fn на пробный заряд q, приходим к общей формулировке принципа суперпозиции.

Принцип суперпозиции. Пусть заряды q1, q2, . . . , qn по отдельности создают в данной точке поля E1, E2, . En. Тогда система этих зарядов создаёт в данной точке поле E, равное векторной сумме напряженностей полей отдельных зарядов:

С помощью принципа суперпозиции можно найти напряженность поля любой системы зарядов, разбивая систему на малые заряды, которые можно считать точечными, с последующим суммированием напряженностей малых зарядов. Обычно это приводит к достаточно сложным вычислениям.

Поле равномерно заряженной плоскости

Важным примером системы зарядов является заряженная плоскость. В качестве бесконечной плоскости мы можем рассматривать любую плоскую пластину, если расстояние от точки, в которой ищется поле, до пластины намного меньше размеров самой пластины. Именно такая ситуация возникает в случае плоского конденсатора: расстояние между его обкладками намного меньше размеров обкладок, так что поле внутри конденсатора можно вычислять как суперпозицию полей двух заряженных плоскостей.

Заряженная плоскость характеризуется величиной поверхностной плотности заряда. Что это такое? Возьмем небольшой участок плоскости площадью S. Пусть заряд этого участка равен q. Тогда поверхностная плотность заряда определяется как отношение заряда к площади:

Иными словами, поверхностная плотность заряда — это заряд единицы площади. Поверхностная плотность заряда может меняться от участка к участку. Но если на любом участке плоскости поверхностная плотность заряда одинакова (σ = const, т. е. заряд распределён равномерно), то плоскость называется равномерно заряженной.

Вектор напряжённости поля равномерно заряженной плоскости перпендикулярен плоскости; он направлен от плоскости, если плоскость заряжена положительно, и к плоскости, если плоскость заряжена отрицательно (рис. 5).

Самое удивительное заключается в том, что величина напряжённости поля не зависит от расстояния до плоскости. Она равна:

Эта формула справедлива для вакуума. В среде с диэлектрической проницаемостью ε поле, как обычно, уменьшается в ε раз:

Пример заряженной плоскости важен потому, что мы встречаемся здесь с понятием однородного поля. Электрическое поле в данной области пространства называется однородным, если вектор напряжённости поля одинаков в каждой точке области. Иными словами, напряжённость поля в каждой точке рассматриваемой области имеет одно и то же направление и неизменную величину.

Поле точечного заряда, например, не является однородным. В самом деле, напряженность поля точечного заряда может меняться от точки к точке как по величине, так и по направлению (она обратно пропорциональна квадрату расстояния до заряда и направлена вдоль прямой, соединяющей заряд с точкой наблюдения).

А вот заряженная плоскость создает однородное электрическое поле в каждом из полупространств, на которые она разбивает пространство. Напряженность этого поля вычисляется по формулам (4) или (5).

Линии напряженности электрического поля

Давайте вернемся к пространственной картине поля точечного заряда. Вместо векторов напряженности в разных точках нарисуем более приятные глазу линии напряженности (рис. 6):

Линии напряжённости идут вдоль векторов напряжённости, указывают направление этих векторов и даже содержат информацию об их абсолютных величинах: чем гуще расположены линии напряжённости, тем больше величина напряжённости поля в данной области пространства.

Аналогичную картину линий напряженности мы можем нарисовать и для заряженной плоскости (рис. 7). Как видим, линии напряженности однородного поля являются участками параллельных прямых.

Линии напряженности можно провести и в произвольном электрическом поле. Каким образом? В каждой точке пространства вектор напряженности поля направлен по касательной к линии напряженности. Линии напряжённости как бы «подстраиваются» под векторы напряжённости, «обтекая» их по касательной (рис. 8):

Линии напряженности всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.

Проверить себя вы можете в этом тесте.

Нарисовать электрическое поле отрицательного заряда