Поток через замкнутую поверхность в виде сферы
Перейти к содержимому

Поток через замкнутую поверхность в виде сферы

  • автор:

Курс лекций, модуль 4

Вычисление напряженности поля системы неподвижных электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, применяя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777 — 1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность.

Воспользуемся графической картиной описания электростатического поля (с помощью силовых линий), пусть густота силовых линий равна модулю Е — E, а поле однородно. Тогда вектор напряженности поля в каждой его точке имеет лишь одно направление и постоянен по величине, а линии напряженности параллельны вектору напряженности. Введем понятие потока вектора напряженности. Будем обозначать эту величину так: ФЕ.

Потоком вектора Е называют число силовых линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой составляет угол a с вектором Е (En= E cosa ).

т.е. dS — вектор, модуль которого равен d S , а направление совпадает с нормалью n к площадке, а Е n — проекция вектора Е на нормаль n к площадке d S .

Поток сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен:

где интеграл берется по замкнутой поверхности S .

Принято для замкнутых поверхностей нормаль брать наружу области, т.е. выбирать внешнюю нормаль.

Поток вектора величина алгебраическая, она зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления нормали. Понятие потока относится к любому векторному полю. Вычисление напряжённости поля системы электрических зарядов существенно упрощается с применением электростатической теоремы Гаусса, которую мы в дальнейшем в разделе «Электростатика» для краткости будем называть просто теоремой Гаусса.

Теорема Гаусса определяет поток вектора напряжённости электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность.

Сначала рассчитаем поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r , охватывающую точечный заряд q , находящийся в её центре, он равен:

Эта формула справедлива для замкнутой поверхности любой формы, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряжённости, пронизывающая сферу пройдёт и сквозь эту поверхность.

Пусть произвольная замкнутая поверхность охватывает заряд q. Поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и, отрицательным, если линии напряженности входят в поверхность. Нечетное число пересечений при вычислении потока сводится к одному пересечению. Сформулирует теорему Гаусса для электростатического поля.

Поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную e0 .

Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским (1801 — 1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю — К. Гауссом.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен 0.

Пусть произвольная поверхность окружает N зарядов, тогда Е = SЕ i и поток вектора напряженности:

Формула (10.6) описывает поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность, охватывающую систему N зарядов, для электростатического поля в вакууме.

В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» — распределены с объемной плотностью зарядов r, различной в разных местах пространства, тогда теорема Гаусса принимает вид:

В то время как само поле Е зависит от конфигурации всех зарядов, то поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической сум- мой зарядов внутри поверхности S. Если передвинуть заряды без пересечения поверхности S, то поток вектора Е через эту поверхность останется прежним.

Поток векторного поля.
Поток через замкнутую поверхность

Начнём с привычного вопроса – а с чем у вас ассоциируется само слово «поток»? …Поток воздуха, поток жидкости…, собственно, о них в частности и пойдёт речь. Откройте окно и вытяните руку в небо. Это будет направление оси . Другие же оси декартовой системы пусть находятся где-то тут, в комнате.

Поток векторного поля скоростей воздуха через открытое окно

Теперь открытое окно мысленно «перекроем» непрерывнойповерхностью. Проще всего выбрать прямоугольный фрагмент плоскости:

Имеет ли значение сторона поверхности? Конечно. По одну сторону улица, по другую – комната =) Поэтому мы будем рассматривать ориентированную поверхность с двумя сторонами, которые принято определять с помощью…, ну вы догадываетесь:)

Сторону, нормальные векторы которой образует с полуосью острые углы, будем называть положительной стороной и обозначать через , и соответственно, противоположную называть отрицательной и обозначать через .

Примечание: очень хочется сказать «внешняя» и «внутренняя» сторона, но это приведёт к смысловому противоречию – ведь ось можно развернуть и наоборот. Более того, на её место можно поставить другую координатную ось и определить стороны из аналогичных соображений.

Для определённости выберем уличную (положительную сторону), и поскольку наша поверхность плоская, то у ВСЕХ её точек будет один и тот же вектор нормали . Этот вектор свободен, и его можно начертить где угодно.

Что характерно? В окно дует ветер. Или из окна (мало ли, сквозняк). Рассмотрим поле скоростей воздуха и каждой точке поверхности поставим в соответствие исходящий из неё несвободный вектор , который указывает направление и скорость движения воздуха в данной точке. Чем сильнее ветер, тем длиннее вектор. Один из них я изобразил на чертеже.

Всё очень просто: поток (обозначается буквой ) – это количество воздуха, прошедшее через ориентированную поверхность в единицу времени (предполагается, что поле скоростей измениться не успело). Причём:

– если , то воздух движется (полностью или преимущественно) по направлению векторов нормали выбранной «уличной» стороны («уходит» из комнаты);

– если , то воздух движется (полностью или преимущественно) против вектора (поступает в комнату).

Чем больше поток по модулю, тем больше воздуха прошло через поверхность (в определённую единицу времени), и тем, понятно, сильнее дует ветер.

– и, наконец, значению соответствуют практически невероятные ситуации:

1) абсолютный штиль (ветер не дует вообще);
2) ветер дует строго в самой плоскости «сигма» (все векторы «эф» лежат в ней);
3) равновесие – сколько воздуха «пришло» через поверхность, столько и «ушло».

Что изменится, если рассмотреть «комнатную» сторону поверхности? Поскольку её нормальный вектор направлен в противоположную сторону, то изменится знак потока:

– он станет отрицательным, когда воздух «уходит» на улицу, и положительным, когда ветер дует в окно. Образно говоря, здесь мы будем смотреть на ту же самую ситуацию, только с другой стороны.

Вообще, чтобы учащиеся лучше прочувствовали эти тонны потока, во многих источниках информации приводится аналогичный пример с жидкостью. Но уж «Титаник» мы устраивать не будем, это грустный фильм – лучше откройте водопроводный кран, задайте координатную ось и проанализируйте поток воды через сечение водопроводной трубы. Хорошего вам напора!

Но кроме шуток, классический пример с жидкостью не случаен – по той причине, что понятие потока пришло именно из гидродинамики, после чего распространилось на произвольное векторное поле, где зачастую «дуть» или «течь» в прямом смысле нечему.

Теперь абстрагируемся от конкретных примеров и перейдём к общим формулировкам:

Поток векторного поля через ориентированную поверхность в единицу времени численно равен поверхностному интегралу 2-го рода по этой поверхности:

Если объяснять просто, то из каждой точки поверхности торчит вектор поля, и, согласно общему принципу интегрирования, данный интеграл объединяет бесконечно малые проекции всех этих векторов на координатные плоскости, что и является мерилом суммарного потока.

И во 2-й части урока Поверхностные интегралы (Примеры № 5-8), мы только и занимались тем, что находили поток векторного поля. А если не занимались, то таки придётся, ибо без техники решения никуда. Дальнейшее изложение материала предполагает, что вы умеете решать поверхностные интегралы.

Так, например, вспомним Пример 5:

«Вычислить интеграл , где – верхняя сторона плоскости , расположенная в 1 октанте»

Скопирую оттуда чертёж:

Условие этой задачи можно сформулировать эквивалентно:

«Найти поток векторного поля через часть плоскости , ограниченную координатными плоскостями, в направлении вектора нормали, образующего с положительной полуосью острый угол»:

В том примере мы получили ответ – это и есть поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника.

Что означает этот результат в гидродинамическом смысле? Он означает, что за единицу времени в направлении вектора протекло 5 единиц жидкости. Если бы результат получился отрицательным, то это бы означало, что «утечка» произошла в противоположном направлении.

Если вычислить поверхностный интеграл по нижней стороне треугольника, то поток сменит знак:

Здесь мы «посмотрели на ситуацию» с другой стороны – по направлению противоположно направленного нормального вектора . Само же векторное поле (направление и скорость течения воды) нисколько не изменилось.

Я снова воздержусь от секунд, килограммов и прочих физических величин, чтобы сосредоточиться на математической стороне вопроса. Скажу только, что поверхностные интегралы нашли широкое применение в различных разделах физики, и на самом деле – это отдельная большая тема для разговора.

Как найти поток векторного поля?

Начинающим, да и всем остальным рекомендую по возможности сводить решение к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода:

Просто чтобы не запутаться.

В основе этого перехода лежит известная формула скалярного произведения , и тут будет полезно проанализировать её содержательный смысл. Пусть – это единичный вектор нормали «комнатой» стороны нашего «сигма-окна» и пусть в рассматриваемых ниже ситуациях дует ветер некоторой постоянной скорости.

Теперь ответим на вопрос: когда поток будут максимальным? Математически максимум достигается при , то есть когда углы между «полевыми» и нормальным вектором равны нулю. Что это значит? Это значит, что ветер дует «прямо в окно» – строго по направлению нормалей. Логично, что именно в этом случае в комнату и попадёт максимальное количество воздуха.

Если «угол задува» увеличивать от 0 до 90 градусов, то косинус (а значит, и поток) будет уменьшаться до нуля. Тоже логично. В частности, если ветер (такой же силы!) дует в окно под углом в 60 градусов, то поток воздуха по абсолютной величине будет уже в два раза меньше .Случаю соответствует «невероятная ситуация», когда воздух перемещается в «плоскости окна». И, наконец, отрицательным значениям косинуса (углы от 90 до 180 градусов) соответствуют случаи, когда ветер дует против вектора нормали (т.е. из окна).

Ещё раз призываю научиться решать поверхностные интегралы тех, кто не успел этого сделать, поскольку сейчас мы фактически продолжаем тему:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Наверное, все интуитивно понимают, что это за поверхность. К простейшим замкнутым поверхностям можно отнести сферу и треугольную пирамиду.

Вычисление потока через замкнутую поверхность имеет свои особенности, с которыми мы познакомимся в ходе решения следующего каноничного примера:

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограниченную плоскостью и координатными плоскостями, в направлении внешней нормали

Поток векторного поля через замкнутую поверхность пирамиды

Решение, как повелось, начинаем с чертежа. Перепишем уравнение плоскости в отрезках и изобразим предложенную поверхность, которая представляет собой треугольную пирамиду:

По условию, поверхность ориентирована в направлении внешней нормали, и поэтому к обозначению пирамиды я добавлю условную стрелочку: .

Поток векторного поля вычислим с помощью того же поверхностного интеграла 2-го рода, и так как поверхность замкнута, то к его обозначению обычно добавляют символический кружочек:

Если совсем тяжко, используйте привычную «сигму»:
, подразумевая под чёрточкой внешнее направление. Заметьте также, что здесь крайне нежелательно ставить «плюсик»: – по той причине, что три грани пирамиды «смотрят» против координатных осей!

Несмотря на «страшный вид», смысл задачи опять же прост: представьте, что пирамида ограничивает фрагмент нЕкоего водного русла. Требуется выяснить, сколько жидкости туда поступило/вытекло в единицу времени.

И, очевидно, что здесь придётся воспользоваться свойством аддитивности поверхностного интеграла, а конкретнее, представить его в виде суммы четырёх поверхностных интегралов по ориентированным граням пирамиды:

Здесь можно тоже использовать короткие обозначения , но чтобы всё было понятнее, я предпочёл пусть громоздкие, но зато «говорящие» названия поверхностей.

! Примечание: вершины треугольников (и др. фигур) желательно перечислять по правилу штопора: представьте, что вы вкручиваете его в бутылку по направлению вектора нормали. Тогда вершины следует перечислить по направлению вращательного движения ручки штопора. Это правило дополнительно и однозначно указывает на ориентацию поверхности.

…что-то не вижу энтузиазма в ваших глазах:)) …и напрасно – с каждым экраном будет всё интереснее и интереснее 😉

1) Вычислим поток векторного поля через ориентированный треугольник в направлении нормального вектора . По сути дела, это Пример 5 урока Поверхностные интегралы.

Поскольку внешняя нормаль образует с полуосью острый угол, то для нахождения единичного нормального вектора используем формулу:

Убедимся, что его длина действительно равна единице:
, ч.т.п. На чертеже он выглядит коротеньким, но что поделать – такой уж наклон плоскости.

Вычислим скалярное произведение:

и сведём решение к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода:

Теперь используем формулу , где – проекция поверхности «сигма» на плоскость . Напоминаю, что интеграл 1-го рода можно вычислить ещё двумя способами, но во избежание путаницы (опять же) лучше пойти привычным путём:

Осталось разрулить двойной интеграл. Найдём прямую, по которой пересекаются плоскости и :

Чтобы не запутаться, обязательно выполняем чертежи проекций

и изобразим проекцию на двумерном чертеже (не ленимся. ):

Очевидно, что с порядком обхода я уже определился чуть ранее:

Повторные интегралы удобнее вычислить по порядку. Сначала внутренний:

Готово. Обратите внимание на рациональную технику вычисления и оформления.

Для лучшего понимания задачи продолжим вкладывать в решение гидродинамический смысл. Что означает полученный результат ? Он означает, что за единицу времени через треугольник в направлении вектора прошло 26 единиц жидкости. Кстати, это не значит, что она движется ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО в данном направлении. Вполне возможно, что здесь «водоворот»: попробуйте поподставлять в функцию различные точки треугольника , и если окажется, что векторы поля торчат из него в разные стороны, то дело обстоит именно так.

Оставшиеся три интеграла, благо, проще:

2) Найдём поток векторного поля через ориентированный треугольник . Единичный вектор нормали тут очевиден: или . Вычислим скалярное произведение:

и перейдём к поверхностному интегралу 1-го рода

Так как поверхность лежит непосредственно в плоскости , то формула
сильно упрощается – ведь «зет» и её производные равны нулю. Двойной интеграл возьмём по тем же пределам интегрирования:

Отрицательное значение означает, что за единицу времени через треугольник по итогу прошло 9 единиц жидкости против вектора (то есть, поступило внутрь пирамиды). Любопытные читатели могут снова поподставлять точки треугольника в функцию и проанализировать характер течения.

3) Вычислим поток векторного поля через ориентированный треугольник . Внешняя нормаль здесь тоже как на ладони: или . Скалярное произведение:

и стандартный переход:

Поскольку треугольник лежит в плоскости , то используем формулу , в которой поверхность совпадает со своей проекцией на плоскость , а функция вместе со своими производными равна нулю:

Найдём прямую, по которой пересекаются плоскости:

Проекция пирамида на плоскость XOZ

и выполним двумерный чертёж:

По размерам треугольник равен предыдущему, но это только размеры. Выберем следующий порядок обхода области:

и перейдём к повторным интегралам:

Результат означает, что за единицу времени через плоскость протекла 1 единица жидкости в направлении вектора (убыла из пирамиды). Может быть, здесь очень слабое течение, но не исключено, что и бурный водоворот. Исследуете вопрос методом научного тыка!

4) И, наконец, поток векторного поля через грань по внешнему направлению Скалярное произведение:

и ещё раз переход:

Поскольку треугольник находится в плоскости , то пускаем в ход формулу , где функция и её производные равны нулю:

Найдём линию пересечения плоскостей и выполним двумерный чертёж:

Проекция пирамида на плоскость YOZ

Выберем следующий порядок обхода области:

Отрицательное значение означает, что за единицу времени через треугольник по итогу протекло 18 единиц жидкости против направления вектора (т.е. внутрь пирамиды).

Ну что же, вот и настал этот знаменательный момент. Вычислим поток векторного поля через всю пирамиду по направлению внешних нормалей:

Ответ:

Что это значит? Это значит, что в единицу времени – сколько поступило жидкости внутрь пирамиды – столько и вытекло.

Да, решение длинное, да решение непростое, но задачи на вычисление потока векторного поля встречаются даже у студентов-заочников, причём, довольно часто. И поэтому обязательно потренируйтесь на небольшой призмочке:

Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали

Будьте ОЧЕНЬ внимательны!

В ходе решения заметьте, что плоскости параллельны оси , а точнее проходят через неё, и поэтому проецирование на плоскость не годится; плоскость же параллельна плоскости и здесь вообще один вариант.

Кроме того, нормальные векторы плоскостей ортогональны к оси , и до сих пор нам не встречалась эта ситуация. Как их найти? Здесь можно обойтись стандартными формулами (см. по ссылке выше), после чего проверить, куда они «смотрят» (графически или вычислив скалярное произведение с вектором либо).

Но что делать, если дана произвольная поверхность? И вообще – нужно ли исследовать всю поверхность? Перейдём ко 2-й части статьи, где нас ждёт множество удивительных открытий:

! Перейдите к ней ПРЯМО СЕЙЧАС и прочитайте по «горячим мыслям» хотя бы начало!

Решение Примера 2:

Изобразим на чертеже искомую поверхность, это призма :

Поток векторного поля через внешне-ориентированную поверхность вычислим с помощью поверхностного интеграла 2-го рода путём перехода к интегралу 1-го рода:

, где – единичный вектор внешней нормали.

Поток представим в виде суммы 5 потоков через грани призмы:

1) Вычислим поток через ориентированную грань в направлении единичного нормального вектора . Найдём скалярное произведение:

Таким образом:
, поскольку грань лежит в плоскости .

2) Вычислим поток через грань в направлении единичного нормального вектора . Найдём скалярное произведение:

Грань лежит в плоскости , следовательно, и:

Изобразим проекцию грани на плоскость :

и выберем следующий порядок обхода области:

3) Вычислим поток через грань в направлении единичного нормального вектора . Найдём скалярное произведение:

Квадрат лежит в плоскости и удачно проецируется лишь на плоскость . Используем формулу , в данном случае и:

Изобразим проекцию грани на плоскость :

и выберем следующий порядок обхода области:

4) Вычислим поток через грань . Найдём вектор . Данная грань лежит в плоскости с нормальным вектором . Тогда соответствующий вектор единичной длины:

Контроль:

Примечание: – это именно тот вектор, который «смотрит» во внешнем направлении грани , аналитически это можно выяснить с помощью скалярного произведения:
, значит, между ним и координатным вектором острый угол.

Грань несколько удобнее спроецировать на плоскость . Используем формулу . Из уравнения плоскости выразим и найдём

Изобразим проекцию грани на плоскость :

и выберем следующий порядок обхода области:

5) Вычислим поток через грань в направлении внешней нормали. Данная грань лежит в плоскости с нормальным вектором . Но нас устраивает вектор, который образует с вектором тупой угол, и это противоположно направленный вектор (и в самом деле: , значит, между этими векторами тупой угол). Найдём соответствующий единичный вектор:

Контроль:

Грань спроецируем на ту же плоскость – в тот же квадрат (см. чертёж предыдущего пункта). Используем формулу . Из уравнения плоскости выразим и найдём

В результате поток векторного поля через всю призму:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Поток вектора напряженности

Статья содержит базовое определение потока напряженности, теорему Остроградского — Гаусса вместе с доказательством. Как всегда, теория закрепляется на практике с помощью задач.

Поток вектора напряжённости электрического поля. Теорема Остроградского — Гаусса.

Определение. Потоком вектора напряженности Ф электрического поля через площадку S называется скалярная физическая величина, равная произведению площади S на нормальную составляющую напряжённости электрического поля E⏊.

, где n — вектор нормали к поверхности S, α — угол между нормалью n и вектором напряжённости E.

Теорема (Остроградского — Гаусса). Поток вектора напряжённости электрического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведённую в поле, пропорционален алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности:

Доказательство. Рассмотрим поток вектора напряжённости через площадку ΔS (рис. 3.1).

С учетом напряжённости поля точечного заряда:

Как известно, телесный угол Ω по определению равен:

, где S — площадь, на которую опирается телесный угол, а r — расстояние до центра.

Рисунок 3.1

Применив это к нашему случаю, можно записать

Полный поток через сферу найдём, просуммировав все телесные углы. Так как полный телесный угол Ω = 4π, то получим

Так как поток ΔФ не зависит от положения заряда q, то получаем выражение, которое называется теоремой Остроградского — Гаусса.

С помощью теоремы Остроградского — Гаусса можно вычислять поля для некоторых симметричных случаев, в которых напряжённость поля одинакова во всех частях фигуры.

Пример 1 (Поле равномерно заряженной сферы). Окружим сферу радиуса R замкнутой поверхностью радиуса r > R (рис. 3.2).

Рисунок 3.2

Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса и определением потока, получим:

Поле сферы совпадает с полем точечного заряда за пределами сферы и равно нулю внутри сферы (так как все заряды находятся на поверхности).

Пример 2 (Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностным зарядом σ). Так как плоскость бесконечная, то во всех точках вектор E одинаков и направлен перпендикулярно поверхности. Густота линий (следовательно, и E тоже) не зависит от расстояния до плоскости — поле однородно.

Для нахождения E рассмотрим сферу радиуса R. Вне сферы поле равно 0, а внутри

Рассмотрим поле на расстояние r = R + x, x R. Это поле равно E = σ / ε₀ и создается близлежащим к сфере малым участком (поле Eпл) и полем E₁, создаваемым остальными участками сферы. Участок должен быть настолько малым, чтобы его можно было считать плоским. С другой стороны, характерные размеры этого участка должны быть много больше расстояния x (чтобы этот малый плоский участок можно было считать бесконечной плоскостью). Другими словами, должно выполняться следующее соотношение:

где S — площадь малого участка сферы.

По разные стороны от поверхности поле E₁ одно и тоже, а поле Eпл меняет знак (рис. 3.3).

Рисунок 3.3

Следовательно, можно составить систему уравнений:

, из которой находим

Поток вектора напряжённости, изображение №17

Пример 3 (Поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра радиуса R).

Окружим цилиндр замкнутой поверхностью в виде такого же цилиндра радиуса r > R (рис. 3.4).

Рисунок 3.4

Для удобства выберем некоторый участок длины L и заряда q и найдём для него поток двумя способами:

Поток вектора напряжённости, изображение №19

, где τ —линейная плотность заряженного цилиндра. Внутри цилиндра поля нет!

Замечание.Внутри всех проводящих замкнутых фигур поля нет! Это следует из того, что все заряды проводящих фигур сосредоточены на поверхности. Если представить, что внутри проводящего тела появятся поля, то должен потечь и ток, но этого не наблюдается в статически заряженных проводящих телах.

Пример 4 (Поле однородно заряженного диэлектрического шара радиуса R с зарядом q). Если выбрать контур радиуса rR, то решение дословно повторяет пример 1.

, где q₁ — заряд, ограниченный замкнутым шаром радиуса r. Для нахождения q₁ найдём сначала объёмную плотность заряда ρ:

А затем найдём заряд q₁:

Подставив соответствующие выражение в (3.1), получим

В итоге получим:

Замечание. Простой проверкой убеждаемся, что при r = R оба выражения приводят к одному и тому же результату, что показывает, что функция E(r) в данном случае непрерывна.

Примеры решения задач

Задача 3.1. Воздух при напряженности более чем E₀ = 3 · 10⁶ В/м перестает быть хорошим диэлектриком и может проводить электрический ток. Найти, какой максимальный заряд можно поместить на металлический шар радиуса R = 1 м.

Решение. Максимальная напряжённость будет достигаться на поверхности шара, поэтому она не должна превышать заданного значения E₀.

Как видно из задачи, заряд 1 Кл — это очень большой заряд, и так сильно зарядить тела привычных размеров невозможно!

Задача 3.2. Найти распределение напряжённости в заряженной пластине толщиной h с объёмной плотностью заряда ρ. Какое максимальное значение напряжённости поля будет достигнуто, если соединить две пластины вместе (рис. 3.5)?

Рисунок 3.5

Решение. Сначала разберёмся, как в каждой толстой пластине зависит напряжённость электрического поля от x, где x — расстояние от середины пластины.

Для этого окружим часть пластины замкнутым контуром толщиной 2x, проходящим через центр пластины.

Тогда при x > h/2

Тогда, если соединить две пластины вместе, получим:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Напряжённость поля до бесконечно проводящей заряженной плоскости равна E₁, а после пластины — E₂. Найти поверхностную плотность заряда на пластине. Считать, что поле в обоих случаях направлено перпендикулярно заряженной пластине.

Задача 2. Две пересекающиеся под углом α и заряженные поверхностной плотностью заряда σ бесконечные пластины делят пространство на четыре области. Найти напряжённость в каждой из областей.

Список литературы

  1. Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. М., 2005.
  2. Задачи по физике / Под ред. Савченко О. Я. Новосибирск, 1999.
  3. Козел С. М., Слободянин В. П. Всероссийские олимпиады по физике. 1992–2001. М., 2002.
  4. Савченко Н. Е. Решение задач по физике. М., 2011.
  5. Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.

Поток через замкнутую поверхность в виде сферы

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка . Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 1.3.1):

где – модуль нормальной составляющей поля

Рисунок 1.3.1.

К определению элементарного потока ΔΦ

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . Если разбить эту поверхность на малые площадки Δ, определить элементарные потоки Δ поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора через замкнутую поверхность (рис. 1.3.2):

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль .

Рисунок 1.3.2.

Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность , в центре которой находится точечный заряд . Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

где – радиус сферы. Поток через сферическую поверхность будет равен произведению на площадь сферы 4π. Следовательно,

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса (рис. 1.3.3).

Рисунок 1.3.3.

Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность , окружающую заряд

Рассмотрим конус с малым телесным углом при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку , а на поверхности – площадку . Элементарные потоки и Δ через эти площадки одинаковы. Действительно,

Здесь Δ – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса .

Так как а следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку 0 через поверхность вспомогательной сферы:

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность не охватывает точечного заряда , то поток = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность насквозь. Внутри поверхности зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность будет складываться из потоков электрических полей отдельных зарядов. Если заряд оказался внутри поверхности , то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса . Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность в виде соосного цилиндра некоторого радиуса и длины , закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

Рисунок 1.3.4.

Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. – ось симметрии

При весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна , так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда

Этот результат не зависит от радиуса заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая . В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен . Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

Рисунок 1.3.5.

Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. – замкнутая гауссова поверхность

В этом случае гауссову поверхность целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

где σ – поверхностная плотность заряда , т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.

Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *